Variations et optimisation

1. Lien entre dérivée et variations

Théorème fondamental : dérivée et sens de variation : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

Si f'(x) > 0 pour tout x I (sauf en des points isolés où f'(x) = 0), alors f est strictement croissante sur I.
Si f'(x) < 0 pour tout x I (sauf en des points isolés où f'(x) = 0), alors f est strictement décroissante sur I.
Si f'(x) = 0 pour tout x I, alors f est constante sur I.

Attention : Le fait que f'(a) = 0 en un point isolé ne change pas la monotonie.

Par exemple, f(x) = x^3 a f'(0) = 0 mais f est strictement croissante sur R.

Exemple : f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)

Sur ]- ; -1[ : (x-2) < 0 et (x+1) < 0, donc f'(x) > 0 → f croissante
Sur ]-1 ; 2[ : (x-2) < 0 et (x+1) > 0, donc f'(x) < 0 → f décroissante
Sur ]2 ; +[ : (x-2) > 0 et (x+1) > 0, donc f'(x) > 0 → f croissante

2. Extremums locaux

Maximum et minimum locaux : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I.

f admet un maximum local en a si f(a) f(x) pour tout x au voisinage de a.
f admet un minimum local en a si f(a) f(x) pour tout x au voisinage de a.

Condition nécessaire d'extremum : Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors :

[formule]

Attention : condition nécessaire mais pas suffisante : f'(a) = 0 ne garantit pas un extremum. Il faut vérifier un changement de signe de f'.

Exemple : f(x) = x^3, f'(0) = 0 mais f n'a pas d'extremum en 0 (pas de changement de signe).

Condition suffisante d'extremum : Si f'(a) = 0 et si f' change de signe en a :

f' passe de positif à négatif en a → f a un maximum local en a
f' passe de négatif à positif en a → f a un minimum local en a

Exemple : Reprenons f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 avec f'(x) = 6(x-2)(x+1).

En x = -1 : f' passe de + à - → maximum local : f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = 12.

En x = 2 : f' passe de - à + → minimum local : f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = -15.

3. Tableau de variations à partir de f'

Méthode complète : Pour dresser le tableau de variations de f sur un intervalle I :

Calculer f'(x)
Résoudre f'(x) = 0 → valeurs critiques x_1, x_2,
Étudier le signe de f'(x) sur chaque sous-intervalle
Calculer les images f(x_1), f(x_2), et les valeurs aux bornes si nécessaire
Dresser le tableau avec les flèches ↗ (croissante) et ↘ (décroissante)

Exemple complet : f(x) = -x^3 + 3x + 1 sur R.

Étape 1 : f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = -3(x-1)(x+1)

Étape 2 : f'(x) = 0 x = -1 ou x = 1

Étape 3 : Signe de f'(x) :

Sur ]- ; -1[ : f'(x) < 0
Sur ]-1 ; 1[ : f'(x) > 0
Sur ]1 ; +[ : f'(x) < 0

Étape 4 : f(-1) = 1 - 3 + 1 = -1 et f(1) = -1 + 3 + 1 = 3

Étape 5 : Tableau de variations :

x	-		-1		1		+
f'(x)		-	0	+	0	-
f(x)	+	↘	-1	↗	3	↘	-

Minimum local en x = -1 : f(-1) = -1.

Maximum local en x = 1 : f(1) = 3.

4. Problèmes d'optimisation : méthode complète

Méthode générale d'optimisation : Pour résoudre un problème d'optimisation :

Modéliser : introduire une variable x et exprimer la grandeur à optimiser f(x)
Déterminer le domaine : trouver les contraintes sur x (intervalle [a ; b])
Dériver : calculer f'(x)
Résoudre f'(x) = 0 dans [a ; b]
Dresser le tableau de variations sur [a ; b]
Conclure : comparer les valeurs critiques et les valeurs aux bornes

Rappel important : Sur un intervalle fermé [a ; b], une fonction continue atteint toujours son maximum et son minimum. Il faut comparer :

les valeurs aux points critiques (où f'(x) = 0)
les valeurs aux bornes f(a) et f(b)

5. Applications

Application 1 : la boîte sans couvercle

Problème de la boîte : On découpe des carrés de côté x cm aux quatre coins d'une feuille rectangulaire de 20 cm par 12 cm, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Quel x maximise le volume ?

Modélisation :

Les dimensions de la boîte sont : longueur = 20 - 2x, largeur = 12 - 2x, hauteur = x.

[formule]

Domaine : x > 0, 20 - 2x > 0 et 12 - 2x > 0, soit x ]0 ; 6[.

Développement :

V(x) = x(240 - 40x - 24x + 4x^2) = x(4x^2 - 64x + 240) = 4x^3 - 64x^2 + 240x

Dérivée :

V'(x) = 12x^2 - 128x + 240 = 4(3x^2 - 32x + 60)

Résolution V'(x) = 0 :

= 32^2 - 4 3 60 = 1024 - 720 = 304

304 = 419 17{,}44

x_1 = 32 - 4{19}{6} = 16 - 2{19}{3} 2{,}43

x_2 = 16 + 2{19}{3} 8{,}24 > 6 (hors domaine)

Tableau de variations sur ]0 ; 6[ :

V'(x) > 0 sur ]0 ; x_1[ et V'(x) < 0 sur ]x_1 ; 6[.

Le volume est maximal pour x = 16 - 2{19}{3} 2{,}43 cm.

V_{} 262{,}7 cm³.

Application 2 : aire maximale sous contrainte de périmètre

Aire maximale d'un enclos : On dispose de 40 m de clôture pour former un enclos rectangulaire adossé à un mur. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Modélisation :

Soit x la longueur du côté perpendiculaire au mur. La clôture forme trois côtés : 2x + L = 40, donc L = 40 - 2x.

[formule]

Domaine : x > 0 et 40 - 2x > 0, soit x ]0 ; 20[.

Dérivée :

A'(x) = 40 - 4x

A'(x) = 0 x = 10

Variations : A'(x) > 0 sur ]0 ; 10[ et A'(x) < 0 sur ]10 ; 20[.

L'aire est maximale pour x = 10 m et L = 20 m.

[formule]

Application 3 : profit maximum

Profit d'une entreprise : Le profit d'une entreprise (en milliers d'euros) est modélisé par :

[formule]

où x est la quantité produite (en centaines d'unités). Quelle production maximise le profit ?

Dérivée :

P'(x) = -3x^2 + 12x + 15 = -3(x^2 - 4x - 5) = -3(x - 5)(x + 1)

P'(x) = 0 x = 5 ou x = -1 (hors domaine)

Variations sur [0 ; 8] :

P'(x) > 0 sur ]0 ; 5[ → P croissante
P'(x) < 0 sur ]5 ; 8[ → P décroissante

Comparaison : P(0) = -10, P(5) = -125 + 150 + 75 - 10 = 90, P(8) = -512 + 384 + 120 - 10 = -18.

Le profit maximal est de 90 milliers d'euros pour une production de 500 unités (x = 5).

À retenir

Résumé :

Dérivée et variations : f' > 0 → f croissante ; f' < 0 → f décroissante
Condition nécessaire d'extremum : si f a un extremum en a, alors f'(a) = 0
Condition suffisante : f' change de signe en a → extremum local en a
Tableau de variations : calculer f', résoudre f'(x) = 0, étudier le signe, dresser le tableau
Optimisation : modéliser f(x), déterminer le domaine, dériver, résoudre f'(x) = 0, conclure
Sur un intervalle fermé [a ; b] : comparer les valeurs aux bornes et aux points critiques
Vérification : un point où f'(x) = 0 sans changement de signe n'est pas un extremum