Dérivées usuelles et techniques de calcul

Dérivation — Première Spécialité

Dérivées usuelles et techniques de calcul

1. Tableau complet des dérivées usuelles

Dérivées des fonctions de référence :

Fonction f(x) Dérivée f'(x) Domaine de dérivabilité
k (constante) 0 R
x 1 R
x^2 2x R
x^3 3x^2 R
x^n (n N^*) nx^{n-1} R
1{x} -1{x^2} R^*
x 1{2x} ]0 ; +[

Attention : La fonction x n'est pas dérivable en 0 : la tangente y est verticale.

La fonction 1{x} n'est pas définie en 0 : attention au domaine de dérivabilité.

Exemples d'application directe :

  1. f(x) = x^5 → f'(x) = 5x^4

  2. f(x) = x^{10} → f'(x) = 10x^9

  3. f(x) = 1{x} → f'(x) = -1{x^2} pour x 0

  4. f(x) = x → f'(x) = 1{2x} pour x > 0

2. Opérations sur les dérivées

Règles de calcul : Soient u et v deux fonctions dérivables et k une constante réelle.

Somme : (u + v)' = u' + v'

Produit par un scalaire : (ku)' = ku'

Produit : (uv)' = u'v + uv'

Quotient : (u{v})' = u'v - uv'{v^2} (avec v 0)

Astuce : Avant d'appliquer la formule du produit ou du quotient, vérifie si tu peux développer ou simplifier l'expression. C'est souvent plus rapide !

3. Dérivée d'un polynôme : méthode terme à terme

Méthode : dériver un polynôme : Pour dériver f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 :

  1. Dériver chaque terme séparément : (a_k x^k)' = k a_k x^{k-1}

  2. La dérivée d'une constante (a_0) est 0

  3. Additionner tous les termes obtenus

Exemple 1 : f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 1

On dérive terme à terme :

  • (2x^4)' = 8x^3
  • (-3x^3)' = -9x^2
  • (5x^2)' = 10x
  • (-7x)' = -7
  • (1)' = 0

[formule]

Exemple 2 : g(x) = -x^5 + 1{2}x^4 - 3x + 8

[formule]

4. Dérivée d'un produit : exemples détaillés

Méthode : formule du produit (uv)' = u'v + uv' :

  1. Identifier u et v

  2. Calculer u' et v'

  3. Appliquer : f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

  4. Développer et réduire

Exemple : f(x) = (x^2 + 1)(3x - 4)

u = x^2 + 1, u' = 2x

v = 3x - 4, v' = 3

f'(x) = 2x(3x - 4) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 8x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 8x + 3

Vérification : en développant d'abord, f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 3x - 4, d'où f'(x) = 9x^2 - 8x + 3. ✓

5. Dérivée d'un quotient : exemples détaillés

Méthode : formule du quotient : Pour f(x) = u(x){v(x)} avec v(x) 0 :

  1. Identifier u, v, puis calculer u' et v'

  2. Appliquer : f'(x) = u'v - uv'{v^2}

  3. Développer le numérateur et simplifier si possible

Exemple 1 : f(x) = x^2 + 1{x - 1} pour x 1.

u = x^2 + 1, u' = 2x, v = x - 1, v' = 1.

[formule]

Exemple 2 : g(x) = 3{2x + 5} pour x -5{2}.

u = 3, u' = 0, v = 2x + 5, v' = 2.

[formule]

Erreurs fréquentes :

  • Ne pas confondre u'v - uv' et u'v + uv' (signe moins pour le quotient !)
  • Ne pas oublier que le dénominateur est v^2, pas v
  • Toujours vérifier que v(x) 0 dans le domaine considéré

6. Tangente à une courbe : méthode et exemples variés

Rappel : équation de la tangente : La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :

[formule]

C'est l'approximation affine de f au voisinage de a.

Méthode : déterminer une équation de tangente :

  1. Calculer f(a) (ordonnée du point de tangence)

  2. Calculer f'(x) (fonction dérivée)

  3. Calculer f'(a) (coefficient directeur de la tangente)

  4. Écrire y = f'(a)(x - a) + f(a) et simplifier

Exemple 1 : fonction polynôme : f(x) = x^3 - 2x + 1, tangente au point d'abscisse a = 2.

  1. f(2) = 8 - 4 + 1 = 5
  2. f'(x) = 3x^2 - 2
  3. f'(2) = 12 - 2 = 10
  4. y = 10(x - 2) + 5 = 10x - 15

Exemple 2 : fonction avec racine : f(x) = x, tangente au point d'abscisse a = 4.

  1. f(4) = 2
  2. f'(x) = 1{2x}
  3. f'(4) = 1{2 2} = 1{4}
  4. y = 1{4}(x - 4) + 2 = 1{4}x + 1

Exemple 3 : fonction quotient : f(x) = x{x + 1} pour x -1, tangente au point d'abscisse a = 1.

  1. f(1) = 1{2}
  2. f'(x) = 1 (x+1) - x 1{(x+1)^2} = 1{(x+1)^2}
  3. f'(1) = 1{4}
  4. y = 1{4}(x - 1) + 1{2} = 1{4}x + 1{4}

7. Exercices types commentés

Exercice type 1 : dérivée et simplification : Dériver f(x) = x^2 - 4{x + 3} pour x -3.

u = x^2 - 4, u' = 2x, v = x + 3, v' = 1.

[formule]

Exercice type 2 : tangente horizontale : Trouver les points où la tangente à f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 est horizontale.

La tangente est horizontale lorsque f'(x) = 0.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2.

Points : (0 ; 4) et (2 ; 0).

Les tangentes sont y = 4 et y = 0 (l'axe des abscisses).

À retenir

Résumé :

  1. Dérivées de référence : (x^n)' = nx^{n-1}, (1/x)' = -1/x^2, (x)' = 1/(2x), (k)' = 0

  2. Somme et scalaire : (u+v)' = u' + v' et (ku)' = ku'

  3. Produit : (uv)' = u'v + uv'

  4. Quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 avec v 0

  5. Polynôme : on dérive terme à terme en appliquant (a_k x^k)' = k a_k x^{k-1}

  6. Tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a) — penser à calculer f(a) et f'(a)

  7. Tangente horizontale : résoudre f'(x) = 0 pour trouver les abscisses correspondantes