Nombre dérivé et fonction dérivée

1. Taux d'accroissement

Taux d'accroissement : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I. Le taux d'accroissement de f entre a et a + h (avec h 0) est :

[formule]

Géométriquement, c'est la pente de la sécante passant par les points A(a ; f(a)) et B(a+h ; f(a+h)).

Exemple : f(x) = x^2, a = 1.

(h) = (1+h)^2 - 1{h} = 1 + 2h + h^2 - 1{h} = 2h + h^2{h} = 2 + h

Quand h 0, (h) 2.

2. Nombre dérivé

Nombre dérivé : f est dérivable en a si le taux d'accroissement f(a+h) - f(a){h} admet une limite finie quand h 0.

Cette limite est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :

[formule]

Exemple : f(x) = x^2. f'(1) = _{h 0} (2 + h) = 2.

3. Tangente à la courbe

Équation de la tangente : Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a a pour équation :

[formule]

Exemple : f(x) = x^2, au point d'abscisse 1 : f(1) = 1, f'(1) = 2.

[formule]

4. Dérivées des fonctions de référence

Tableau des dérivées usuelles :

Vérifie ta compréhension : question: Quelle est la dérivée de f(x) = x^3 ?

• x^2
• 3x^2
• 3x^3
• x^3 explication: On applique la formule (x^n)' = nx^{n-1} avec n = 3 : f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2.

5. Opérations sur les dérivées

Dérivée d'une somme : (u + v)' = u' + v'

Dérivée d'un produit par un scalaire : (ku)' = ku' (k constante)

Dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv'

Dérivée d'un quotient : [formule]

Exemple : dérivée d'un produit : f(x) = (2x+1)(x^2 - 3).

u = 2x+1, u' = 2, v = x^2-3, v' = 2x.

f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6.

Exemple : dérivée d'un quotient : f(x) = x+1{x-2} pour x 2.

u = x+1, u' = 1, v = x-2, v' = 1.

f'(x) = 1 (x-2) - (x+1) 1{(x-2)^2} = -3{(x-2)^2}.

6. Application : sens de variation

Lien dérivée — variations : Soit f dérivable sur un intervalle I :

Si f'(x) > 0 sur I → f est strictement croissante sur I

Si f'(x) < 0 sur I → f est strictement décroissante sur I

Si f'(x) = 0 sur I → f est constante sur I

Méthode : tableau de variations :

1. Calculer f'(x)

2. Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les valeurs critiques

3. Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle

4. En déduire les variations de f

Exemple : f(x) = x^3 - 3x + 1.

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1).

f'(x) = 0 x = -1 ou x = 1.

• Sur ]- ; -1[ : f'(x) > 0 → f croissante
• Sur ]-1 ; 1[ : f'(x) < 0 → f décroissante
• Sur ]1 ; +[ : f'(x) > 0 → f croissante

Maximum local : f(-1) = 3. Minimum local : f(1) = -1.

À retenir

Résumé :

1. f'(a) = _{h 0} f(a+h)-f(a){h}

2. Tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a)

3. (x^n)' = nx^{n-1}, (1/x)' = -1/x^2, (x)' = 1/(2x)

4. (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = (u'v - uv')/v^2

5. f' > 0 → f croissante, f' < 0 → f décroissante