Applications du second degré

Second degré — Première Spécialité

Applications du second degré

1. Problèmes d'optimisation

Extremum d'un trinôme : Soit f(x) = ax^2 + bx + c avec a 0.

Le sommet de la parabole est atteint en = -b{2a}, et la valeur extrémale est :

[formule]

  • Si a > 0 : f admet un minimum égal à f()
  • Si a < 0 : f admet un maximum égal à f()

Résoudre un problème d'optimisation :

  1. Modéliser : identifier la variable x et exprimer la quantité à optimiser en fonction de x

  2. Déterminer le domaine de validité de x (contraintes du problème)

  3. Identifier que la quantité est un trinôme ax^2 + bx + c

  4. Calculer = -b{2a} et vérifier qu'il appartient au domaine

  5. Calculer la valeur optimale f()

  6. Conclure en répondant à la question posée

Exemple 1 – Maximum d'un produit : Trouver deux nombres dont la somme est 20 et dont le produit est maximum.

Soit x l'un des nombres. L'autre vaut 20 - x.

Produit : P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x.

a = -1 < 0 → maximum. = -20{2 (-1)} = 10.

P(10) = 10 10 = 100.

Conclusion : le produit est maximum pour x = 10, soit deux nombres égaux à 10. Le produit maximal est 100.

Exemple 2 – Recette maximale : Un commerçant vend un produit au prix unitaire p euros. Le nombre d'articles vendus est N(p) = 200 - 4p.

Recette : R(p) = p N(p) = p(200 - 4p) = -4p^2 + 200p.

a = -4 < 0 → maximum. = -200{2 (-4)} = 25.

R(25) = -4(625) + 200(25) = -2500 + 5000 = 2500 €.

Conclusion : la recette maximale est de 2 500 € pour un prix unitaire de 25 €.

2. Somme et produit des racines (relations de Viète)

Relations de Viète : Si le trinôme ax^2 + bx + c (a 0) admet deux racines x_1 et x_2 (avec 0), alors :

[formule]

Attention : Ces formules ne sont valables que si les racines existent ( 0). Si < 0, il n'y a pas de racines réelles et les relations de Viète ne s'appliquent pas dans R.

Utilisation des relations de Viète : Les relations de Viète permettent de :

  • Calculer x_1 + x_2 et x_1 x_2 sans résoudre l'équation

  • Trouver un trinôme connaissant ses racines : si x_1 et x_2 sont racines, alors x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2 = 0

  • Calculer des expressions symétriques : x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2

Exemple 1 – Calculs sans résoudre : Soit 2x^2 - 8x + 5 = 0. On a x_1 + x_2 = 8{2} = 4 et x_1 x_2 = 5{2}.

Calculer x_1^2 + x_2^2 :

[formule]

Exemple 2 – Trouver un trinôme connaissant ses racines : Trouver un trinôme de coefficient dominant 1 ayant pour racines 3 et -5.

x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2 et x_1 x_2 = 3 (-5) = -15.

[formule]

Vérification : = 4 + 60 = 64, x = -2 8{2}, d'où x_1 = 3 et x_2 = -5 ✅

3. Paramètre dans une équation du second degré

Discussion selon un paramètre : Soit une équation ax^2 + bx + c = 0 où les coefficients dépendent d'un paramètre m.

  1. Exprimer en fonction de m

  2. Étudier le signe de selon les valeurs de m

  3. Conclure : pour chaque intervalle de m, indiquer le nombre de solutions

Exemple 1 – Nombre de solutions selon m : Soit l'équation x^2 + 2mx + m + 6 = 0.

= 4m^2 - 4(m + 6) = 4m^2 - 4m - 24 = 4(m^2 - m - 6) = 4(m - 3)(m + 2)

Tableau de signes de :

m - -2 3 +
+ 0 - 0 +
  • Si m < -2 ou m > 3 : > 0 → deux solutions distinctes
  • Si m = -2 ou m = 3 : = 0 → une solution double
  • Si -2 < m < 3 : < 0 → aucune solution réelle

Exemple 2 – Condition sur les racines : Pour quelles valeurs de m l'équation x^2 - 4x + m = 0 admet-elle deux racines strictement positives ?

Condition 1 : deux racines ( 0) → 16 - 4m 0 → m 4.

Condition 2 : les deux racines sont positives.

  • Somme positive : x_1 + x_2 = 4 > 0 ✅ (toujours vrai)
  • Produit positif : x_1 x_2 = m > 0

Conclusion : m ]0 ; 4] (on exclut m = 0 car une racine serait nulle).

Plus précisément : 0 < m 4.

4. Applications géométriques

Aire maximale sous contrainte : Quand un problème géométrique donne une contrainte (périmètre fixé, somme de dimensions fixée…), on suit la démarche :

  1. Poser une variable x pour une dimension

  2. Exprimer les autres dimensions à l'aide de la contrainte

  3. Écrire l'aire comme un trinôme en x

  4. Trouver l'extremum du trinôme

  5. Vérifier que la solution est dans le domaine de validité

Exemple 1 – Rectangle de périmètre fixé : On veut construire un rectangle de périmètre 40 cm d'aire maximale.

Soit x la largeur. La longueur vaut L = 40 - 2x{2} = 20 - x (avec 0 < x < 20).

Aire : A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x.

a = -1 < 0 → maximum. = -20{-2} = 10.

A(10) = 10 10 = 100 cm².

Conclusion : l'aire est maximale quand x = L = 10 cm, c'est-à-dire quand le rectangle est un carré de côté 10 cm. L'aire maximale est 100 cm².

Exemple 2 – Aire d'un triangle inscrit : Un triangle ABC rectangle en A a pour hypoténuse [BC] avec BC = 10 cm. Soit H le pied de la hauteur issue de A avec BH = x. Alors HC = 10 - x et AH = x(10-x) (relation métrique).

L'aire du triangle est :

[formule]

Pour maximiser A, on maximise g(x) = -x^2 + 10x (car est croissante).

= -10{-2} = 5 et g(5) = -25 + 50 = 25.

A_{} = 525 = 25 cm².

Conclusion : l'aire est maximale quand BH = HC = 5 cm, soit quand le triangle est isocèle en A.

Exemple 3 – Gouttière : On plie une feuille rectangulaire de largeur 24 cm pour former une gouttière en U. On relève les bords sur une hauteur x cm.

La base de la gouttière mesure 24 - 2x cm (avec 0 < x < 12).

Section : S(x) = x(24 - 2x) = -2x^2 + 24x.

a = -2 < 0 → maximum. = -24{-4} = 6.

S(6) = -72 + 144 = 72 cm².

Conclusion : la section est maximale quand les bords mesurent 6 cm de hauteur et la base 12 cm. La section maximale est de 72 cm².

À retenir

Résumé :

  1. Le trinôme f(x) = ax^2 + bx + c admet un extremum en = -b{2a} : minimum si a > 0, maximum si a < 0

  2. Relations de Viète : x_1 + x_2 = -b{a} et x_1 x_2 = c{a}

  3. Pour un paramètre m : exprimer en fonction de m, étudier son signe, conclure sur le nombre de solutions

  4. En géométrie : modéliser une grandeur (aire, volume…) comme un trinôme, puis trouver l'extremum

  5. Le rectangle de périmètre fixé et d'aire maximale est toujours un carré