Factorisation, signe et inéquations

Second degré — Première Spécialité

Factorisation, signe et inéquations du second degré

1. Forme canonique

Forme canonique : Tout trinôme f(x) = ax^2 + bx + c avec a 0 peut s'écrire sous la forme canonique :

[formule]

avec = -b{2a} (abscisse du sommet) et = f() = c - b^2{4a}.

Trouver la forme canonique : Méthode 1 – par calcul direct :

  1. Calculer = -b{2a}

  2. Calculer = f()

  3. Écrire f(x) = a(x - )^2 +

Méthode 2 – par complétion du carré :

  1. Mettre a en facteur : f(x) = a(x^2 + b{a}x) + c

  2. Compléter le carré : x^2 + b{a}x = (x + b{2a})^2 - b^2{4a^2}

  3. Développer et simplifier

Exemple : Soit f(x) = 2x^2 - 12x + 13.

= --12{2 2} = 3 et = f(3) = 18 - 36 + 13 = -5.

[formule]

Vérification : 2(x-3)^2 - 5 = 2(x^2 - 6x + 9) - 5 = 2x^2 - 12x + 18 - 5 = 2x^2 - 12x + 13 ✅

Exemple par complétion du carré : Soit f(x) = 3x^2 + 6x - 1.

f(x) = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3((x+1)^2 - 1) - 1 = 3(x+1)^2 - 3 - 1

[formule]

2. Factorisation du trinôme selon le signe de

Factorisation selon : Soit f(x) = ax^2 + bx + c et = b^2 - 4ac.

Cas 1 : > 0 — Le trinôme admet deux racines distinctes x_1 et x_2 :

[formule]

Cas 2 : = 0 — Le trinôme admet une racine double x_0 = -b{2a} :

[formule]

Cas 3 : < 0 — Le trinôme n'a pas de racine réelle et ne se factorise pas dans R.

Exemple – Cas > 0 : f(x) = 2x^2 - 10x + 12.

= 100 - 96 = 4 > 0. x_1 = 10 - 2{4} = 2 et x_2 = 10 + 2{4} = 3.

[formule]

Exemple – Cas = 0 : f(x) = x^2 - 6x + 9.

= 36 - 36 = 0. x_0 = 3.

[formule]

3. Signe du trinôme

Règle des signes du trinôme : Soit f(x) = ax^2 + bx + c avec a 0.

Si < 0 : f(x) est du signe de a pour tout réel x.

x - +
Signe de f(x) signe de a

Si = 0 : f(x) est du signe de a pour tout x, et s'annule uniquement en x_0.

x - x_0 +
Signe de f(x) signe de a 0 signe de a

Si > 0 : f(x) s'annule en x_1 < x_2 et est :

  • du signe de a à l'extérieur des racines (x < x_1 ou x > x_2)
  • du signe opposé à a entre les racines (x_1 < x < x_2)
x - x_1 x_2 +
Signe de f(x) signe de a 0 signe opposé à a 0 signe de a

Mnémotechnique : « Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines » (quand > 0).

Penser au dessin : si a > 0 la parabole est au-dessus de l'axe sauf entre les racines.

Exemple : Signe de f(x) = -x^2 + 2x + 3.

a = -1, = 4 + 12 = 16 > 0, x_1 = -2 - 4{-2} = 3, x_2 = -2 + 4{-2} = -1.

Racines ordonnées : x_2 = -1 < x_1 = 3. Signe de a = négatif.

x - -1 3 +
Signe de f(x) - 0 + 0 -

f(x) 0 pour x [-1 ; 3].

4. Résolution d'inéquations du second degré

Résoudre une inéquation du second degré : Pour résoudre ax^2 + bx + c 0 (ou 0, > 0, < 0) :

  1. Calculer = b^2 - 4ac

  2. Trouver les racines (si elles existent)

  3. Dresser le tableau de signes du trinôme

  4. Lire les solutions dans le tableau selon l'inégalité demandée

Exemple 1 : Résoudre x^2 - 4x - 5 > 0.

= 16 + 20 = 36 > 0. x_1 = 4-6{2} = -1, x_2 = 4+6{2} = 5.

a = 1 > 0 : le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

[formule]

Exemple 2 : Résoudre -2x^2 + 3x - 4 0.

= 9 - 32 = -23 < 0. Pas de racine.

a = -2 < 0 : le trinôme est toujours négatif.

Donc -2x^2 + 3x - 4 0 pour tout réel x : S = R.

Exemple 3 : Résoudre x^2 - 6x + 9 0.

= 0. x_0 = 3.

a = 1 > 0 : le trinôme est positif ou nul pour tout x, et nul uniquement en x_0 = 3.

Donc x^2 - 6x + 9 0 x = 3 : S = {3}.

Attention : Avant de résoudre, toujours se ramener à 0 dans le second membre. Par exemple, pour résoudre x^2 + 3 > 5x, on écrit d'abord x^2 - 5x + 3 > 0.

5. Position relative de la parabole et de l'axe des abscisses

Position de la parabole par rapport à l'axe Ox : La parabole P d'équation y = ax^2 + bx + c et l'axe des abscisses :

Si > 0 : P coupe l'axe Ox en deux points d'abscisses x_1 et x_2.

Si = 0 : P est tangente à l'axe Ox au point d'abscisse x_0.

Si < 0 :

  • Si a > 0 : P est entièrement au-dessus de l'axe Ox
  • Si a < 0 : P est entièrement en dessous de l'axe Ox

Application : Soit f(x) = x^2 + 2x + 5.

= 4 - 20 = -16 < 0 et a = 1 > 0.

La parabole est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : f(x) > 0 pour tout réel x.

Résumé des positions :

a > 0 a < 0
> 0 ∪ coupe Ox en 2 points ∩ coupe Ox en 2 points
= 0 ∪ tangent à Ox ∩ tangent à Ox
< 0 ∪ au-dessus de Ox ∩ en dessous de Ox

À retenir

Résumé :

  1. Forme canonique : f(x) = a(x - )^2 + avec = -b{2a} et = f()

  2. Si > 0 : f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) ; si = 0 : f(x) = a(x - x_0)^2 ; si < 0 : pas de factorisation

  3. Signe du trinôme : du signe de a sauf entre les racines (quand > 0)

  4. Inéquation : se ramener à 0, calculer , tableau de signes, lire les solutions

  5. Position parabole / axe Ox : > 0 → 2 intersections, = 0 → tangente, < 0 → pas d'intersection