Trinôme du second degré
1. Définition
Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction polynôme de la forme :
[formule]
Sa courbe est une parabole :
- Tournée vers le haut si a > 0
- Tournée vers le bas si a < 0
2. Forme canonique
Forme canonique : Tout trinôme f(x) = ax^2 + bx + c peut s'écrire sous la forme :
[formule]
avec = -b{2a} et = f() = -{4a}
Le sommet de la parabole est S( ; ).
Exemple : f(x) = 2x^2 - 8x + 3.
= --8{2 2} = 2 et = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5.
[formule]
3. Discriminant et racines
Discriminant : Le discriminant du trinôme ax^2 + bx + c est :
[formule]
Nombre de racines selon :
- Si > 0 : deux racines distinctes x_1 = -b - {}{2a} et x_2 = -b + {}{2a}
Si = 0 : une racine double x_0 = -b{2a}
Si < 0 : aucune racine réelle
Exemple : f(x) = x^2 - 5x + 6. = 25 - 24 = 1 > 0.
x_1 = 5 - 1{2} = 2 et x_2 = 5 + 1{2} = 3.
Donc f(x) = (x-2)(x-3).
4. Factorisation
Forme factorisée :
- Si > 0 : f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
Si = 0 : f(x) = a(x - x_0)^2
Si < 0 : f(x) ne se factorise pas dans R
5. Signe du trinôme
Signe de ax^2 + bx + c :
- Si < 0 : f(x) est du signe de a pour tout x
Si = 0 : f(x) est du signe de a pour tout x (nul en x_0)
Si > 0 : f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines
Mnémotechnique : « Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines » (quand elles existent).
6. Tableau de variations
Variations de f(x) = ax^2 + bx + c : Le sommet est en = -b{2a}.
Si a > 0 : f décroît sur ]- ; ] puis croît sur [ ; +[ → minimum
Si a < 0 : f croît sur ]- ; ] puis décroît sur [ ; +[ → maximum
À retenir
Résumé :
= b^2 - 4ac
0 → 2 racines : x = -b {}{2a}
Sommet : = -b{2a}
Signe : du signe de a sauf entre les racines
a > 0 → parabole ∪ (minimum), a < 0 → parabole ∩ (maximum)