Modélisation avec les suites

Introduction

Les suites numériques sont un outil puissant pour modéliser des situations concrètes : évolution d'une population, placement financier, dose de médicament, etc. Ce chapitre montre comment choisir le bon modèle (arithmétique ou géométrique), utiliser un algorithme de seuil et étudier graphiquement une suite.

1. Modélisation par une suite arithmétique

Modèle arithmétique — croissance linéaire : Lorsqu'une grandeur évolue en ajoutant (ou retranchant) une même quantité à chaque étape, on modélise par une suite arithmétique :

[formule]

La représentation graphique des points (n,;,u_n) est alignée sur une droite.

Population — croissance constante : Une ville compte 15 000 habitants et gagne 400 habitants chaque année.

On note P_n la population après n années :

[formule]

Formule explicite : P_n = 15,000 + 400n.

Après 20 ans : P_{20} = 15,000 + 400 20 = 23,000 habitants.

2. Modélisation par une suite géométrique

Modèle géométrique — croissance exponentielle : Lorsqu'une grandeur évolue en étant multipliée par un même coefficient à chaque étape, on modélise par une suite géométrique :

[formule]

La croissance (ou décroissance) est exponentielle : de plus en plus rapide si q > 1.

Placement financier — intérêts composés : On place un capital C_0 = 5,000 € à un taux annuel de 4 %.

Chaque année, le capital est multiplié par 1{,}04 :

[formule]

Formule explicite : C_n = 5,000 1{,}04^n.

Après 10 ans : C_{10} = 5,000 1{,}04^{10} 7,401{,}22 €.

Population de bactéries : Une colonie de bactéries double toutes les heures. Au départ, il y a 500 bactéries.

[formule]

B_n = 500 2^n. Après 10 heures : B_{10} = 500 1024 = 512,000 bactéries.

3. Comparaison des deux modèles

Arithmétique vs Géométrique :

Comparaison sur un exemple : Offre A : salaire initial 1 500 €, augmentation de 100 € par an → S_n^A = 1,500 + 100n.

Offre B : salaire initial 1 500 €, augmentation de 5 % par an → S_n^B = 1,500 1{,}05^n.

• Année 5 : S_5^A = 2,000 € et S_5^B 1,914 €. L'offre A est meilleure.
• Année 15 : S_{15}^A = 3,000 € et S_{15}^B 3,118 €. L'offre B dépasse.

À long terme, la croissance exponentielle finit toujours par dépasser la croissance linéaire.

4. Algorithme de seuil

Algorithme de seuil : Un algorithme de seuil consiste à chercher le plus petit entier n tel que u_n dépasse (ou passe en dessous d') une valeur donnée S.

Méthode : trouver n tel que u_n > S : Par calculs successifs :

1. Calculer u_0, u_1, u_2, ... en appliquant la relation de récurrence.

2. S'arrêter dès que u_n > S.

3. Le rang trouvé est la réponse.

Par résolution algébrique (si formule explicite) :

• Suite arithmétique : u_0 + nr > S n > S - u_0{r}

• Suite géométrique (q > 1) : u_0 q^n > S q^n > S{u_0}

Exemple : quand un capital dépasse 10 000 € ? : C_n = 6,000 1{,}05^n. On cherche n tel que C_n > 10,000.

Par calculs successifs :

Donc C_n > 10,000 à partir de n = 11 ans.

5. Sens de variation d'une suite

Rappel : méthode pour le sens de variation : Pour une suite (u_n) définie par une formule explicite, on étudie le signe de :

[formule]

• Si d_n > 0 pour tout n n_0 : suite croissante à partir du rang n_0.

• Si d_n < 0 pour tout n n_0 : suite décroissante à partir du rang n_0.

Exemple : u_n = n^2 - 8n + 20.

u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) + 20 - (n^2 - 8n + 20) = n^2 + 2n + 1 - 8n - 8 + 20 - n^2 + 8n - 20 = 2n - 7

u_{n+1} - u_n > 0 2n > 7 n > 3{,}5

Donc (u_n) est décroissante pour n 3 et croissante à partir de n = 4.

6. Représentation graphique

Représenter une suite : Pour représenter graphiquement une suite (u_n) :

1. Placer les points de coordonnées (n,;,u_n) dans un repère.

2. Les points ne sont pas reliés (la suite est définie sur N, pas sur R).

3. On peut observer la monotonie et le comportement à long terme sur le graphique.

Allure des graphiques :

• Suite arithmétique (r > 0) : points alignés sur une droite croissante.
• Suite géométrique (q > 1, u_0 > 0) : courbe exponentielle croissante.
• Suite géométrique (0 < q < 1, u_0 > 0) : courbe qui décroît vers 0.

À retenir

Résumé :

1. Modèle arithmétique : ajout constant → croissance linéaire → u_n = u_0 + nr

2. Modèle géométrique : multiplication constante → croissance exponentielle → u_n = u_0 q^n

3. À long terme, la croissance exponentielle dépasse toujours la croissance linéaire.

4. Algorithme de seuil : calculer les termes un par un jusqu'à dépasser la valeur cible.

5. Sens de variation : étudier le signe de u_{n+1} - u_n.