Suites arithmétiques et géométriques

1. Suites arithmétiques

Suite arithmétique : Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si pour tout n :

[formule]

Chaque terme s'obtient en ajoutant r au précédent.

Formule explicite : [formule]

Plus généralement, pour tout p : u_n = u_p + (n-p)r.

Exemple : u_0 = 3 et r = 5.

u_n = 3 + 5n → u_0 = 3, u_1 = 8, u_2 = 13, u_3 = 18...

Somme des termes : [formule]

Formule générale : somme = nombre de termes {premier + dernier}{2}

Somme classique : [formule]

Par exemple : 1 + 2 + + 100 = 100 101{2} = 5050

Variations :

• Si r > 0 : suite strictement croissante

Si r < 0 : suite strictement décroissante

Si r = 0 : suite constante

2. Suites géométriques

Suite géométrique : Une suite (u_n) est géométrique de raison q si pour tout n :

[formule]

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par q.

Formule explicite : [formule]

Plus généralement : u_n = u_p q^{n-p}.

Exemple : u_0 = 2 et q = 3.

u_n = 2 3^n → u_0 = 2, u_1 = 6, u_2 = 18, u_3 = 54...

Somme des termes : Pour q 1 :

[formule]

Formule à retenir : 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^{n+1}{1 - q}

Exemple : 1 + 2 + 4 + 8 + + 2^{10} = 1 - 2^{11}{1 - 2} = 1 - 2048{-1} = 2047

Variations (pour u_0 > 0) :

• Si q > 1 : suite strictement croissante

Si 0 < q < 1 : suite strictement décroissante (vers 0)

Si q = 1 : suite constante

Si q < 0 : suite non monotone (alternance de signes)

3. Reconnaître une suite

Comment reconnaître ? :

• Arithmétique : vérifier que u_{n+1} - u_n = r (constante)

• Géométrique : vérifier que u_{n+1}{u_n} = q (constante, avec u_n 0)

Attention : Si u_{n+1} - u_n n'est pas constant → la suite n'est pas arithmétique. Si u_{n+1}{u_n} n'est pas constant → la suite n'est pas géométrique.

4. Applications

Intérêts simples (suite arithmétique) : Un capital de 1000 € rapporte 50 € d'intérêts par an.

u_0 = 1000, r = 50, u_n = 1000 + 50n.

Après 10 ans : u_{10} = 1000 + 500 = 1500 €.

Intérêts composés (suite géométrique) : Un capital de 1000 € rapporte 5% par an.

u_0 = 1000, q = 1{,}05, u_n = 1000 1{,}05^n.

Après 10 ans : u_{10} = 1000 1{,}05^{10} 1628{,}89 €.

À retenir

Résumé :