Généralités sur les suites

Suites numériques — Première Spécialité

Généralités sur les suites

Introduction

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers naturels. Les suites permettent de modéliser des phénomènes d'évolution (population, capital, doses...).

1. Définition

Suite numérique : Une suite numérique (u_n) est une fonction de N (ou d'une partie de N) dans R, qui à tout entier n associe un réel u_n.

u_n est le terme général de la suite, et n est l'indice ou le rang.

Exemples :

  • u_n = 2n + 1 → u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7...
  • v_n = n^2 → v_0 = 0, v_1 = 1, v_2 = 4, v_3 = 9...

2. Modes de génération

Formule explicite

Formule explicite : u_n est donné directement en fonction de n :

[formule]

On peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.

Formule de récurrence

Formule de récurrence : u_n est donné en fonction du (ou des) termes précédents, avec un premier terme :

[formule]

Pour calculer u_n, il faut calculer tous les termes précédents.

Exemple : cases u_0 = 3 u_{n+1} = 2u_n - 1 cases

u_0 = 3, u_1 = 2(3) - 1 = 5, u_2 = 2(5) - 1 = 9, u_3 = 17...

3. Sens de variation

Suite croissante / décroissante :

  • (u_n) est croissante si pour tout n : u_{n+1} u_n
  • (u_n) est décroissante si pour tout n : u_{n+1} u_n
  • (u_n) est monotone si elle est croissante ou décroissante

Comment étudier le sens de variation ? : Méthode 1 : Étudier le signe de u_{n+1} - u_n

  • Si u_{n+1} - u_n 0 pour tout n → croissante

  • Si u_{n+1} - u_n 0 pour tout n → décroissante

Méthode 2 : Si u_n > 0, comparer u_{n+1}{u_n} à 1

  • Si u_{n+1}{u_n} 1 → croissante

  • Si u_{n+1}{u_n} 1 → décroissante

Exemple : u_n = n^2 - 4n. Étudier le sens de variation.

u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - (n^2 - 4n) = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 - n^2 + 4n = 2n - 3

u_{n+1} - u_n 0 2n - 3 0 n 3{2}

Donc (u_n) est décroissante pour n 1 et croissante à partir de n 2.

4. Suite bornée

Suite bornée :

  • (u_n) est majorée s'il existe M tel que u_n M pour tout n
  • (u_n) est minorée s'il existe m tel que u_n m pour tout n
  • (u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

À retenir

Résumé :

  1. Suite = fonction de N dans R

  2. Explicite** : u_n = f(n) — Récurrence : u_{n+1} = g(u_n)

  3. Croissante ssi u_{n+1} - u_n 0 pour tout n

  4. Décroissante ssi u_{n+1} - u_n 0 pour tout n