Évolutions

Introduction

Une grandeur passe d'une valeur initiale V₁ à une valeur finale V₂ : un prix, une population, un nombre de naissances. On peut décrire ce changement de trois façons — par une différence, par un quotient, ou par un pourcentage — et ces trois descriptions ne répondent pas à la même question.

1. Trois façons de mesurer une évolution

Variation absolue, coefficient multiplicateur, taux d'évolution : Une grandeur passe de V₁ à V₂, avec V₁ ≠ 0.

Variation absolue (variation additive) : V₂ - V₁, dans l'unité de la grandeur.

Coefficient multiplicateur (variation multiplicative) : (V₂)/(V₁), le nombre par lequel on multiplie V₁ pour obtenir V₂.

Taux d'évolution (variation relative) : t = (V₂ - V₁)/(V₁), souvent écrit en pourcentage.

Les naissances en France : Il est né environ 678 000 enfants en France en 2023, et 663 000 en 2024 (Insee, bilan démographique 2024).

Variation absolue : 663 000 - 678 000 = -15 000 naissances.

Coefficient multiplicateur : (663 000)/(678 000) ≈ 0,978.

Taux d'évolution : (-15 000)/(678 000) ≈ -0,022, soit une baisse d'environ 2,2 %.

Coefficient multiplicateur et taux : Le taux t étant écrit sous forme décimale :

(V₂)/(V₁) = 1 + t

En pourcentage : une hausse de t % correspond au coefficient 1 + t/100, une baisse de t % au coefficient 1 - t/100.

En effet, (V₂ - V₁)/(V₁) = (V₂)/(V₁) - 1.

Lire le coefficient : Un coefficient supérieur à 1 traduit une hausse, un coefficient compris entre 0 et 1 une baisse. Coefficient 1,12 : hausse de 12 %. Coefficient 0,85 : baisse de 15 %.

2. Retrouver une valeur finale ou initiale

Avec le coefficient multiplicateur k : Valeur finale : V₂ = V₁ × k.

Valeur initiale : V₁ = (V₂)/k.

Un prix avant la hausse : Après une hausse de 20 %, un article coûte 54 €. Son prix initial est

V₁ = 54/(1,2) = 540/12 = 45 €

Contrôle : 45 × 1,2 = 54 ✓.

Le piège du « je retire 20 % » : Retirer 20 % à 54 € donne 54 × 0,8 = 43,20 €, et non 45 €. Les 20 % de la hausse portaient sur le prix initial (45 €), pas sur le prix final : on ne remonte une évolution qu'en divisant par son coefficient.

3. Évolutions successives

Coefficient global : Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients k₁, puis k₂, alors le coefficient global est le produit :

k = k₁ × k₂

Le taux global vaut k - 1. Le résultat s'étend à trois évolutions ou plus.

En effet, V₃ = V₂ × k₂ = (V₁ × k₁) × k₂.

L'inflation de 2022 et 2023 : D'après l'Insee, les prix à la consommation ont augmenté de 5,2 % en 2022, puis de 4,9 % en 2023 (en moyenne annuelle). Le coefficient global est

1,052 × 1,049 ≈ 1,1035

En deux ans, les prix ont donc augmenté d'environ 10,4 %, et non de 5,2 + 4,9 = 10,1 %.

Les taux ne s'additionnent pas : Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne ramène pas au départ : 1,1 × 0,9 = 0,99, soit une baisse de 1 %. La baisse porte sur une valeur plus grande que celle sur laquelle portait la hausse.

4. Évolution réciproque

Coefficient réciproque : Si une évolution a pour coefficient k, l'évolution qui ramène à la valeur initiale (l'évolution réciproque) a pour coefficient

1/k

En effet, V₁ × k × 1/k = V₁.

Revenir au prix de départ : Un prix augmente de 25 % : coefficient 1,25. Pour revenir au prix de départ, il faut le multiplier par 1/(1,25) = 0,8, c'est-à-dire le baisser de 20 % — et non de 25 %.

Le réciproque n'est pas l'opposé : Le taux réciproque d'une hausse de 25 % est -20 %, pas -25 %. Et celui d'une baisse de 50 % est une hausse de 100 % : 1/(0,5) = 2, la quantité doit doubler.

À retenir

Résumé :

1. Variation absolue V₂ - V₁ ; coefficient k = (V₂)/(V₁) ; taux t = (V₂ - V₁)/(V₁) = k - 1.

2. Hausse de t % : k = 1 + t/100 ; baisse de t % : k = 1 - t/100.

3. Évolutions successives : on multiplie les coefficients.

4. Évolution réciproque : coefficient 1/k.

5. Les taux ne s'additionnent pas, et le taux réciproque n'est pas l'opposé du taux.