Proportions et pourcentages

Introduction

« 91 % des candidats ont obtenu le baccalauréat », « le prix a augmenté de 5 % » : le même symbole % désigne deux choses très différentes. Dans le premier cas, il compare une partie à un tout : c'est une proportion. Dans le second, il compare une valeur finale à une valeur initiale : c'est une évolution, l'objet de la leçon suivante.

Cette leçon fixe le vocabulaire des proportions, puis traite le cas où les ensembles sont emboîtés : le pourcentage d'un pourcentage.

1. Proportion d'une sous-population

Proportion : On considère une population E d'effectif N, et une partie A de cette population d'effectif nA. La proportion (ou fréquence) de A dans E est :

p = (nA)/N

C'est un nombre compris entre 0 et 1. Il s'écrit sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage : p = 0,25 = 1/4 = 25 %.

Le baccalauréat 2024 : Sur environ 753 000 candidats présents au baccalauréat 2024, environ 687 000 ont été admis (DEPP, Note d'information n° 25.05).

p = 687/753 ≈ 0,912

Environ 91 % des candidats ont été admis. La population de référence est l'ensemble des candidats présents, pas l'ensemble des élèves de Terminale.

Toujours nommer la population de référence : Une proportion n'a de sens que si l'on dit de quoi elle est la proportion. « 40 % » ne veut rien dire seul ; « 40 % des élèves de la classe » est une information.

2. Calculer une partie, ou le tout

La relation p = (nA)/N relie trois nombres : en connaissant deux, on retrouve le troisième.

Partie et tout : La partie, connaissant le tout : nA = p × N.

Le tout, connaissant la partie : N = (nA)/p.

Deux calculs sans calculatrice : Une classe de 35 élèves compte 40 % d'élèves qui viennent en bus : 0,4 × 35 = 14 élèves.

Dans une autre classe, les 18 élèves qui déjeunent à la cantine représentent 45 % de l'effectif : N = 18/(0,45) = (1 800)/45 = 40 élèves.

Le contrôle de vraisemblance : Une partie est toujours plus petite que le tout : si p < 1, alors nA < N. Trouver N = 8 dans le second exemple (en calculant 18 × 0,45 ≈ 8) signale qu'on a multiplié au lieu de diviser.

3. Pourcentage d'un pourcentage

Souvent, les populations sont emboîtées : les élèves de Seconde demi-pensionnaires forment une partie des élèves de Seconde, qui forment eux-mêmes une partie des élèves du lycée.

Proportion de proportion : Si A ⊂ B ⊂ E, que B représente la proportion p₁ de E et que A représente la proportion p₂ de B, alors A représente la proportion

p = p₁ × p₂

de E.

En effet, (nA)/N = (nB)/N × (nA)/(nB) : on simplifie par nB.

Un lycée : Dans un lycée, 30 % des élèves sont en Seconde, et 60 % des élèves de Seconde sont demi-pensionnaires. Les élèves de Seconde demi-pensionnaires représentent

0,3 × 0,6 = 0,18 = 18 %

des élèves du lycée.

Le baccalauréat 2024, en deux étapes : Les candidats de la voie générale représentaient 390/753 ≈ 51,8 % des candidats, et parmi eux 374/390 ≈ 95,9 % ont été admis. Les candidats de la voie générale et admis représentent donc

390/753 × 374/390 = 374/753 ≈ 49,7 %

de l'ensemble des candidats : à peu près un candidat sur deux.

On multiplie, on n'additionne pas : 30 % + 60 % = 90 % n'a aucun sens : les deux pourcentages ne portent pas sur la même population. Le contrôle est immédiat — une partie d'une partie est plus petite que chacune des deux proportions : 18 % < 30 % et 18 % < 60 %.

4. Proportion ou évolution ?

Deux usages du pourcentage : Proportion : « p % des … » compare une partie à un tout, au même moment.

Évolution : « augmente (ou baisse) de t % » compare une valeur finale à une valeur initiale.

Points de pourcentage : Dans un lycée, la part des élèves qui viennent à vélo passe de 20 % à 25 % (exemple fictif). Cette proportion a augmenté de 5 points de pourcentage, mais elle a augmenté de 25 %, puisque (25 - 20)/20 = 0,25.

Écrire « +5 % » serait faux : on confondrait la différence de deux proportions avec une évolution.

5. Appliquer un pourcentage : du « + 5 % » au « × 1,05 »

Prendre, ajouter, retirer un pourcentage : Prendre t % d'une quantité V : V × t/100.

Augmenter V de t % : V + V × t/100 = V × (1 + t/100).

Diminuer V de t % : V × (1 - t/100).

Trois traductions à connaître : « Augmenter de 5 % » revient à « multiplier par 1,05 ».

« Diminuer de 5 % » revient à « multiplier par 0,95 ».

« Augmenter de 100 % » revient à « multiplier par 2 » : la quantité double.

À retenir

Résumé :

1. Proportion de A dans E : p = (nA)/N, entre 0 et 1 ; partie = p × tout.

2. Ensembles emboîtés : les proportions se multiplient, p = p₁ × p₂.

3. « p % des … » est une proportion ; « augmente de t % » est une évolution.

4. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t %, par 1 - t/100.