Probabilités

Introduction

Les probabilités modélisent le hasard. Elles permettent de quantifier la chance qu'un événement se produise.

1. Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Vocabulaire :

• Univers : ensemble de tous les résultats possibles (issues)
• Événement : partie (sous-ensemble) de
• Événement élémentaire : événement composé d'une seule issue
• Événement certain : (se réalise toujours)
• Événement impossible : (ne se réalise jamais)
• Événements contraires : A et A (l'un se réalise quand l'autre ne se réalise pas)

Exemple : Lancer un dé à 6 faces :

• = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
• « Obtenir un 4 » : événement élémentaire {4}
• « Obtenir un nombre pair » : événement A = {2 ; 4 ; 6}
• « Obtenir un nombre impair » : A = {1 ; 3 ; 5}

2. Définition de la probabilité

Probabilité : La probabilité d'un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 :

[formule]

• P() = 1 (événement certain)
• P() = 0 (événement impossible)

Équiprobabilité : Si tous les résultats sont également probables (dé non truqué, tirage au sort...) :

[formule]

Exemple : Probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé équilibré :

[formule]

3. Propriétés fondamentales

Propriétés : Pour tous événements A et B :

P(A) = 1 - P(A) (événement contraire)

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) (formule de l'union)

Si A et B sont incompatibles (A B = ) : P(A B) = P(A) + P(B)

Exemple : On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.

• A = « tirer un cœur » : P(A) = 8{32} = 1{4}
• B = « tirer un roi » : P(B) = 4{32} = 1{8}
• A B = « tirer le roi de cœur » : P(A B) = 1{32}

[formule]

4. Arbres de probabilités

Utiliser un arbre : Un arbre de probabilités représente les résultats successifs d'une expérience.

Règles :

1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1

2. La probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin

3. P(A) = somme des probabilités de tous les chemins menant à A

Exemple : deux lancers de pièce : On lance une pièce deux fois. = {PP, PF, FP, FF}.

Chaque chemin a la probabilité 1{2} 1{2} = 1{4}.

P(au moins un pile) = 1 - P(aucun pile) = 1 - 1{4} = 3{4}

5. Fréquence et probabilité

Loi des grands nombres : Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

Exemple : En lançant un dé un très grand nombre de fois, la fréquence d'obtention du 6 se rapproche de 1{6} 0{,}167.

À retenir

Résumé :

1. 0 P(A) 1 et P() = 1

2. Équiprobabilité : P(A) = {cas favorables}{cas possibles}

3. P(A) = 1 - P(A)

4. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

5. Arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins