Droites du plan

Géométrie plane — Seconde

Droites du plan

Introduction

Au collège, les droites sont apparues comme courbes des fonctions affines : la droite d'équation y = mx + p (chapitre « Fonctions affines »). Mais une droite verticale n'est la courbe d'aucune fonction. Pour décrire toutes les droites du plan, on utilise un vecteur directeur et une équation cartésienne. Dans toute la leçon, le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Vecteur directeur

Vecteur directeur : Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul u⃗ qui a la direction de d : si A et B sont deux points distincts de d, u⃗ est colinéaire à AB⃗.

Propriétés :

  • Si A et B sont deux points distincts de d, AB⃗ est un vecteur directeur de d.
  • Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur de d en est aussi un : une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
  • Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur : si d passe par A et a pour vecteur directeur u⃗, alors

M ∈ d ⟺ AM⃗ et u⃗ sont colinéaires.

2. Équation cartésienne

Forme générale d'une équation de droite :

  1. Toute droite d du plan admet une équation de la forme

ax + by + c = 0

où a, b, c sont des réels, avec a et b non tous les deux nuls. Si u⃗(α ; β) est un vecteur directeur de d, on peut prendre a = β et b = -α.

  1. Réciproquement, si a et b ne sont pas tous les deux nuls, l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite, de vecteur directeur u⃗(-b ; a).

Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de la droite.

Démonstration :

  1. Soit d la droite passant par A(xA ; yA), de vecteur directeur u⃗(α ; β). Pour un point M(x ; y), on a AM⃗(x - xA ; y - yA), et

M ∈ d ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0 ⟺ (x - xA)β - α(y - yA) = 0,

c'est-à-dire, en développant :

β x - α y + (α yA - β xA) = 0.

En posant a = β, b = -α et c = α yA - β xA, c'est une équation ax + by + c = 0. Et a et b ne sont pas tous les deux nuls, puisque u⃗ n'est pas le vecteur nul.

  1. Soient a, b, c des réels, avec a et b non tous les deux nuls, et E l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0.

E contient au moins un point A(xA ; yA) : si b ≠ 0, le point (0 ; -c/b) ; si b = 0, alors a ≠ 0 et le point (-c/a ; 0). Comme axA + byA + c = 0, on a c = -axA - byA, donc pour tout point M(x ; y) :

ax + by + c = a(x - xA) + b(y - yA).

Soit u⃗(-b ; a), qui n'est pas nul. Son déterminant avec AM⃗ vaut (x - xA) × a - (-b) × (y - yA) = a(x - xA) + b(y - yA). Ainsi

M ∈ E ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0 ⟺ AM⃗ et u⃗ colinéaires.

E est donc la droite passant par A et de vecteur directeur u⃗(-b ; a).

Une droite a une infinité d'équations cartésiennes : En multipliant une équation par un réel non nul, on obtient une autre équation de la même droite : 2x - y + 3 = 0 et -4x + 2y - 6 = 0 décrivent la même droite.

Déterminer une équation cartésienne : Avec un point A et un vecteur directeur u⃗ : on écrit det(AM⃗, u⃗) = 0 pour un point M(x ; y), puis on développe.

Avec deux points A et B : on prend u⃗ = AB⃗, et l'on se ramène au cas précédent.

Dans les deux cas, on vérifie que les points connus satisfont l'équation trouvée.

Un point et un vecteur directeur : Droite passant par A(2 ; -1), de vecteur directeur u⃗(3 ; 4). Pour M(x ; y), AM⃗(x - 2 ; y + 1) et

det(AM⃗, u⃗) = 4(x - 2) - 3(y + 1) = 4x - 3y - 11.

Une équation est 4x - 3y - 11 = 0. Contrôle : A la vérifie (8 + 3 - 11 = 0), et le point (5 ; 3), obtenu en ajoutant u⃗ à A, aussi (20 - 9 - 11 = 0).

Deux points : Droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; -3). On prend AB⃗(3 ; -6) :

det(AM⃗, AB⃗) = -6(x - 1) - 3(y - 3) = -6x - 3y + 15.

Une équation est -6x - 3y + 15 = 0, ou, en divisant par -3, 2x + y - 5 = 0. Contrôle avec B : 8 - 3 - 5 = 0.

Lire un vecteur directeur, tracer la droite :

  • Sur une équation ax + by + c = 0, un vecteur directeur se lit directement : u⃗(-b ; a). Pour 2x - 5y + 1 = 0, c'est u⃗(5 ; 2).
  • Pour tracer la droite, on cherche deux de ses points : pour 3x + 2y - 6 = 0, x = 0 donne y = 3 et y = 0 donne x = 2 ; la droite passe par (0 ; 3) et (2 ; 0).
  • Si b = 0, l'équation s'écrit x = k : la droite est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées). Si a = 0, elle s'écrit y = k : la droite est horizontale.

3. Équation réduite et pente

Équation réduite : Soit d une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0.

  • Si b ≠ 0 (droite non parallèle à l'axe des ordonnées), l'équation équivaut à y = -a/bx - c/b : la droite a une unique équation de la forme

y = mx + p,

appelée équation réduite. Le nombre m est la pente (ou coefficient directeur) de d, et p son ordonnée à l'origine. C'est la courbe de la fonction affine x ↦ mx + p.

  • Si b = 0, la droite est verticale : elle a une équation de la forme x = k, et pas de pente.

Pente et vecteur directeur :

  • La droite d'équation y = mx + p passe par (0 ; p) et par (1 ; m + p) : elle a pour vecteur directeur u⃗(1 ; m). Quand x augmente de 1, y augmente de m.
  • Si u⃗(α ; β) est un vecteur directeur avec α ≠ 0, la pente vaut m = β/α. Pour deux points A et B d'abscisses différentes, m = (yB - yA)/(xB - xA).

De la cartésienne à la réduite : 5x - 2y + 8 = 0 ⟺ 2y = 5x + 8 ⟺ y = 5/2x + 4.

La pente est 5/2, l'ordonnée à l'origine 4, et u⃗(2 ; 5) est un vecteur directeur.

Un point et la pente : Droite de pente -2 passant par A(-1 ; 4) : son équation est y = -2x + p, et A la vérifie : 4 = -2 × (-1) + p, donc p = 2. Équation réduite : y = -2x + 2.

4. Droites parallèles, droites sécantes

Parallélisme : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (des droites confondues sont parallèles).

  • Pour d : ax + by + c = 0 et d' : a'x + b'y + c' = 0, les vecteurs u⃗(-b ; a) et u'⃗(-b' ; a') ont pour déterminant (-b)a' - a(-b') = ab' - a'b. Donc

d ∥ d' ⟺ ab' - a'b = 0.

  • Pour d : y = mx + p et d' : y = m'x + p', les vecteurs (1 ; m) et (1 ; m') ont pour déterminant m' - m. Donc d ∥ d' ⟺ m = m' ; elles sont confondues si de plus p = p'.

Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes : elles ont un unique point commun.

Point d'intersection de deux droites sécantes : Pour d : y = mx + p et d' : y = m'x + p' avec m ≠ m' : le point commun a la même ordonnée sur les deux droites, donc son abscisse vérifie

mx + p = m'x + p'.

On résout, puis on calcule y avec l'une des équations, et l'on vérifie avec l'autre.

Deux droites sécantes : d : y = 3x - 4 et d' : y = -2x + 6. Les pentes 3 et -2 sont différentes : les droites sont sécantes.

3x - 4 = -2x + 6 ⟺ 5x = 10 ⟺ x = 2, puis y = 3 × 2 - 4 = 2. Contrôle dans d' : -2 × 2 + 6 = 2. Le point d'intersection est (2 ; 2).

Deux droites parallèles : d : 2x - 3y + 1 = 0 et d' : -4x + 6y + 5 = 0 : ab' - a'b = 2 × 6 - (-4) × (-3) = 12 - 12 = 0, elles sont parallèles.

Le point (1 ; 1) est sur d (2 - 3 + 1 = 0), mais pas sur d' (-4 + 6 + 5 = 7 ≠ 0) : elles ne sont pas confondues, elles sont strictement parallèles.

5. Trois points alignés ?

Deux façons équivalentes :

  • Par le déterminant : A, B, C sont alignés si et seulement si det(AB⃗, AC⃗) = 0.
  • Par une équation : on détermine une équation de la droite (AB), et l'on teste si les coordonnées de C la vérifient.

Exemple : A(-1 ; 3), B(1 ; -1), C(3 ; -5) : AB⃗(2 ; -4) et AC⃗(4 ; -8), donc det = 2 × (-8) - 4 × (-4) = -16 + 16 = 0. Les trois points sont alignés.

6. Deux algorithmes

Étudier l'alignement de trois points

En langage naturel, l'affectation se note avec une flèche : d ← … se lit « d prend la valeur… ».

xu ← xB − xA
yu ← yB − yA
xv ← xC − xA
yv ← yC − yA
d ← xu × yv − xv × yu
Si d = 0 alors afficher « alignés »
sinon afficher « non alignés »

La même chose en Python, sous forme d'une fonction qui renvoie un booléen (True ou False) :

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    d = (xB - xA) * (yC - yA) - (xC - xA) * (yB - yA)
    return d == 0

alignes(-1, 3, 1, -1, 3, -5) renvoie True : ce sont les points de l'exemple ci-dessus.

Avec des nombres décimaux : Avec des coordonnées entières, le calcul de d est exact. Avec des nombres décimaux, Python calcule en flottants et peut obtenir un résultat très proche de 0 sans être nul (par exemple 0,1 + 0,2 ne vaut pas exactement 0,3 en machine). On remplace alors le test par abs(d) < 1e-9.

Déterminer une équation de la droite passant par deux points distincts

D'après la démonstration du § 2, avec le vecteur directeur AB⃗(xB - xA ; yB - yA) — non nul, puisque A ≠ B —, on peut prendre a = yB - yA et b = -(xB - xA) = xA - xB ; puis c s'obtient en écrivant que A est sur la droite.

a ← yB − yA
b ← xA − xB
c ← −(a × xA + b × yA)
afficher a, b, c

def equation(xA, yA, xB, yB):
    a = yB - yA
    b = xA - xB
    c = -(a * xA + b * yA)
    return a, b, c

equation(1, 3, 4, -3) renvoie (-6, -3, 15) : la droite d'équation -6x - 3y + 15 = 0, c'est-à-dire 2x + y - 5 = 0, comme dans l'exemple du § 2.

À retenir

Résumé :

  1. Vecteur directeur : un vecteur non nul qui a la direction de la droite ; AB⃗ en est un si A et B sont deux points distincts de la droite.

  2. Équation cartésienne : ax + by + c = 0, avec a et b non tous deux nuls ; u⃗(-b ; a) est un vecteur directeur. On l'obtient par det(AM⃗, u⃗) = 0.

  3. Équation réduite (droite non verticale) : y = mx + p ; pente m, vecteur directeur (1 ; m). Droite verticale : x = k.

  4. Parallèles ⟺ vecteurs directeurs colinéaires ⟺ ab' - a'b = 0 ⟺ m = m' (équations réduites).

  5. Sécantes : on trouve le point commun en résolvant mx + p = m'x + p'.

  6. Alignement : det(AB⃗, AC⃗) = 0.