Transformations du plan

Géométrie plane — Seconde

Transformations du plan

Introduction

Les transformations géométriques permettent de déplacer ou retourner des figures dans le plan. En Seconde, on étudie trois transformations fondamentales : la symétrie centrale, la symétrie axiale et la translation.

1. Symétrie centrale

Symétrie centrale : La symétrie de centre O transforme tout point M en le point M' tel que O est le milieu de [MM'].

[formule]

Coordonnées du symétrique : Si M(x ; y) et le centre est O(a ; b), alors l'image M' a pour coordonnées :

[formule]

Exemple : Symétrique de M(3 ; 1) par rapport à O(1 ; 4) :

[formule]

Vérification : milieu de [MM'] = (3+(-1){2} ; 1+7{2}) = (1 ; 4) = O ✅

Propriétés de la symétrie centrale : La symétrie centrale conserve :

les distances (M'N' = MN)

les angles

le parallélisme

Elle inverse le sens de parcours (transformation indirecte).

2. Symétrie axiale

Symétrie axiale : La symétrie d'axe d transforme tout point M en le point M' tel que d est la médiatrice de [MM'].

Autrement dit : le milieu de [MM'] est sur d, et (MM') d.

Cas particulier : axes de coordonnées :

  • Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (y = 0) : [formule]

  • Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (x = 0) : [formule]

Exemple : Symétrique de A(3 ; 5) par rapport à l'axe des abscisses :

[formule]

Propriétés de la symétrie axiale : La symétrie axiale conserve :

les distances, les angles, le parallélisme

Elle inverse aussi le sens de parcours (transformation indirecte).

3. Translation

Translation : La translation de vecteur u transforme tout point M en le point M' tel que :

[formule]

Coordonnées du translaté : Si upmatrix a b pmatrix et M(x ; y), alors :

[formule]

Exemple : Translation de vecteur upmatrix 3 -2 pmatrix appliquée au point A(1 ; 4) :

[formule]

Propriétés de la translation : La translation conserve :

les distances (M'N' = MN)

les angles et le parallélisme

l'alignement (trois points alignés ont des images alignées)

le sens de parcours (transformation directe)

L'image d'une droite d est une droite parallèle à d.

4. Vecteurs associés aux transformations

Lien avec les vecteurs :

  • Symétrie centrale de centre O : OM' = -OM
  • Translation de vecteur u : MM' = u

Le vecteur associé à une translation est le même pour tous les points du plan.

Exemple : Si ABCD est un parallélogramme, alors la translation de vecteur AB envoie D sur C :

[formule]

5. Composition de symétries centrales

Composée de deux symétries centrales : La composée de la symétrie de centre A suivie de la symétrie de centre B est la translation de vecteur 2AB.

[formule]

Exemple : S_A est la symétrie de centre A(1 ; 0) et S_B la symétrie de centre B(3 ; 2).

Le vecteur AB = pmatrix22pmatrix, donc 2AB = pmatrix44pmatrix.

La composée S_B S_A est la translation de vecteur pmatrix44pmatrix.

6. Applications : parallélogrammes et vecteurs

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :

  1. AB = DC (côtés opposés de même vecteur)

  2. Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu

  3. AB + AD = AC (règle du parallélogramme)

À retenir

Résumé :

  1. Symétrie centrale de centre O : M' = (2a - x ; 2b - y)

  2. Symétrie axiale / axes : (x ; -y) ou (-x ; y)

  3. Translation de upmatrixabpmatrix : M'(x+a ; y+b)

  4. Les trois transformations conservent distances, angles et parallélisme

  5. Composée de deux symétries centrales = translation de vecteur 2AB