Vecteurs du plan

Introduction

Un vecteur caractérise un déplacement par sa direction, son sens et sa longueur (norme). C'est un outil fondamental de la géométrie.

1. Définition

Vecteur : Un vecteur AB est défini par :

• Une direction (celle de la droite (AB))
• Un sens (de A vers B)
• Une norme (la longueur AB)

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Notation :

• AB : vecteur de A vers B
• u, v : vecteurs nommés par une lettre
• 0 : vecteur nul (norme = 0)

2. Somme de vecteurs

Relation de Chasles : Pour tous points A, B, C :

[formule]

Construire la somme u + v : Méthode du parallélogramme :

1. Tracer u à partir d'un point A, on arrive en B

2. Tracer v à partir de B, on arrive en C

3. Le vecteur somme est AC

3. Produit par un scalaire

Produit ku : Si k est un réel et u un vecteur :

• ku a la même direction que u
• Le même sens si k > 0, le sens opposé si k < 0
• La norme |ku| = |k| |u|

Exemples :

• 2u : même sens, norme doublée
• -u : sens opposé, même norme (c'est BA si u = AB)
• 1{2}u : même sens, norme divisée par 2

4. Vecteur et translation

Translation : La translation de vecteur u transforme tout point M en le point M' tel que :

[formule]

Propriétés de la translation : La translation de vecteur u :

Conserve les distances (M'N' = MN)

Conserve les angles

Transforme une droite en une droite parallèle

Conserve le milieu, le parallélisme, l'alignement

5. Parallélogramme et vecteurs

Caractérisation du parallélogramme : ABCD est un parallélogramme si et seulement si :

[formule]

(Ou de manière équivalente : AD = BC.)

Exemple : A(1;2), B(4;3), C(5;6). Trouver D tel que ABCD soit un parallélogramme.

ABpmatrix31pmatrix et DC = AB donc DCpmatrix31pmatrix.

Si D(x;y) : 5-x = 3 et 6-y = 1, donc D(2;5).

6. Décomposition dans une base

Base du plan : Deux vecteurs u et v non colinéaires forment une base du plan. Tout vecteur w peut s'écrire de façon unique :

[formule]

a et b sont les composantes de w dans la base (u ; v).

À retenir

Résumé :

1. AC = AB + BC (Chasles)

2. ku : même direction, norme multipliée par |k|, sens selon le signe de k

3. ABCD parallélogramme AB = DC

4. Colinéaires : xy' - yx' = 0

5. La translation conserve les distances, les angles et le parallélisme