Repérage dans le plan

Introduction

Le repérage dans le plan permet d'associer à chaque point un couple de nombres : ses coordonnées. C'est le pont entre la géométrie et l'algèbre.

1. Repère du plan

Repère orthonormé : Un repère orthonormé (O ; i ; j) est constitué de :

• Un point O appelé origine
• Deux vecteurs i et j perpendiculaires et de même longueur (norme 1)

Coordonnées d'un point : Dans un repère (O ; i ; j), tout point M est repéré par un unique couple (x ; y) :

[formule]

• x est l'abscisse de M
• y est l'ordonnée de M

2. Coordonnées du milieu

Milieu d'un segment : Le milieu I du segment [AB] avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) a pour coordonnées :

[formule]

Exemple : Milieu de A(2 ; 5) et B(6 ; -1) :

[formule]

3. Distance entre deux points

Distance : La distance entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est :

[formule]

Exemple : Distance entre A(1 ; 3) et B(4 ; 7) :

[formule]

4. Coordonnées d'un vecteur

Vecteur AB : Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), les coordonnées du vecteur AB sont :

[formule]

Exemple : A(2 ; 3) et B(5 ; 1) :

[formule]

5. Opérations sur les vecteurs

Somme et produit : Si upmatrix x y pmatrix et vpmatrix x' y' pmatrix, alors :

[formule]

Norme d'un vecteur : [formule]

6. Colinéarité

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs upmatrix x y pmatrix et vpmatrix x' y' pmatrix sont colinéaires si et seulement si :

[formule]

(Le déterminant est nul.)

Applications de la colinéarité :

• Trois points A, B, C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires

Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Exemple : A(1;2), B(3;6), C(5;10) sont-ils alignés ?

ABpmatrix24pmatrix, ACpmatrix48pmatrix

Déterminant : 2 8 - 4 4 = 16 - 16 = 0. Oui, ils sont alignés.

À retenir

Résumé :

1. Milieu : I(x_A+x_B{2} ; y_A+y_B{2})

2. Distance : AB = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2

3. Vecteur : ABpmatrix x_B-x_A y_B-y_A pmatrix

4. Colinéarité : xy' - yx' = 0