Fluctuation d'échantillonnage

Introduction

Lancez dix fois une pièce équilibrée : vous n'obtiendrez pas forcément cinq piles. Recommencez : le nombre de piles change encore. Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. Il ne contredit pas le modèle « P(pile) = 0,5 » : il dit ce qu'on peut en attendre, et ce qu'on ne peut pas en attendre.

1. Échantillon et fréquence observée

Vocabulaire :

• Un échantillon de taille n est la liste des résultats de n répétitions identiques et indépendantes d'une même expérience aléatoire (ou de n tirages au hasard, avec remise, dans une population).
• La fréquence observée d'un événement dans l'échantillon est f = k/n, où k est le nombre de fois où il s'est réalisé.

Contrôle d'ampoules : On prélève au hasard 100 ampoules dans une production et on en trouve 8 défectueuses : la fréquence observée est f = 8/100 = 0,08. Un autre prélèvement de 100 ampoules donnerait, en général, une autre fréquence.

2. La fluctuation d'échantillonnage

Fluctuation d'échantillonnage : La fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre, alors que la probabilité de l'événement, elle, reste fixe : c'est la fluctuation d'échantillonnage.

Probabilité et fréquence ne jouent pas le même rôle : La probabilité p est une propriété du modèle (la pièce, le dé, la population). La fréquence f est une propriété de ton échantillon : c'est elle seule qui fluctue.

3. Simuler avec Python

from random import random

def frequence_pile(n):
    nb = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            nb = nb + 1
    return nb / n

Ce que fait la fonction : random() renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1 ; il est inférieur à 0,5 une fois sur deux en moyenne, ce qui simule « pile ». La boucle répète n lancers et compte les piles ; la fonction renvoie la fréquence observée.

Cinq appels pour chaque taille (exemple de résultats) :

Pour n = 10, les fréquences s'étalent de 0,3 à 0,8. Pour n = 10 000, elles restent toutes très proches de 0,5.

4. La loi des grands nombres

Loi des grands nombres (version vulgarisée) : Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

« Sauf exception » fait partie de l'énoncé : Un grand échantillon peut s'écarter de la probabilité : c'est seulement de plus en plus rare quand n augmente. Et le hasard n'a pas de mémoire : après cinq piles de suite, la pièce n'est pas « obligée » de tomber sur face au lancer suivant.

5. Estimer une probabilité inconnue

Pour une punaise lancée sur une table, aucune symétrie ne permet de dire si elle retombe plus souvent « pointe en haut » ou « sur le côté ». On ne peut pas supposer l'équiprobabilité : on observe.

La punaise (données fictives) : Une classe lance 1 000 fois une punaise et obtient 612 fois « pointe en haut ». La loi des grands nombres justifie de choisir le modèle P(pointe en haut) ≈ 0,61.

C'est un modèle construit à partir de fréquences observées : une autre série de 1 000 lancers donnerait une valeur un peu différente, et le modèle reste une hypothèse.

6. Échantillon et population

Échantillon représentatif : Un échantillon est une partie de la population. C'est le tirage au hasard qui le rend représentatif, pas sa taille : un très grand échantillon mal choisi (par exemple, les seuls volontaires) peut donner une image fausse de la population.

À retenir

Résumé :

1. La fréquence observée f = k/n varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.

2. Loi des grands nombres : lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

3. Une simulation (Python, tableur) permet d'observer ce phénomène.

4. Quand aucune symétrie ne fournit le modèle, on le construit à partir de fréquences observées sur un grand nombre de répétitions.