Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Introduction

Une information change les probabilités. La probabilité qu'un candidat au baccalauréat soit admis n'est pas la même selon qu'on sait, ou non, de quelle voie il vient. La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement quand on sait qu'un autre est réalisé.

1. Du tableau croisé à la probabilité conditionnelle

On reprend le tableau du baccalauréat 2024 (effectifs en milliers, DEPP) :

On tire au sort un candidat, avec équiprobabilité. On note V l'événement « le candidat vient de la voie professionnelle » et S l'événement « le candidat est admis » (S comme succès).

Probabilité conditionnelle : Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A, notée PA(B), est

PA(B) = (P(A ∩ B))/(P(A))

Pour un tirage au sort avec équiprobabilité dans une population : PA(B) = (Card(A ∩ B))/(Card(A)).

Lire le tableau : PV(S̅) = 35/208 ≈ 0,17 : sachant que le candidat vient de la voie professionnelle, la probabilité qu'il ne soit pas admis est d'environ 0,17. On se place dans la ligne « Professionnelle ».

PS̅(V) = 35/66 ≈ 0,53 : sachant que le candidat n'est pas admis, la probabilité qu'il vienne de la voie professionnelle est d'environ 0,53. On se place dans la colonne « Non admis ».

Probabilité conditionnelle et fréquence conditionnelle : Pour un tirage au sort, PA(B) est exactement la fréquence conditionnelle de B parmi A (leçon 606). Le dénominateur est l'effectif de l'événement qui suit « sachant ».

2. De la langue naturelle aux symboles

Traduire une phrase : « Parmi les A, x % sont B », « sachant A, la probabilité de B est… », « si A, alors B dans x % des cas » : c'est PA(B). L'événement qui conditionne s'écrit en indice.

« x % des individus sont à la fois A et B » : c'est P(A ∩ B), sans condition.

Trois phrases, trois probabilités : « 28 % des candidats viennent de la voie professionnelle » : P(V) ≈ 0,28.

« 4,6 % des candidats viennent de la voie professionnelle et ne sont pas admis » : P(V ∩ S̅) = 35/753 ≈ 0,046.

« 17 % des candidats de la voie professionnelle ne sont pas admis » : PV(S̅) ≈ 0,17.

3. Arbres pondérés

Une situation donnée par des pourcentages successifs se représente par un arbre pondéré.

Bus et retards (données fictives) : Dans un lycée, 40 % des élèves viennent en bus. Parmi eux, 25 % arrivent en retard au moins une fois par mois ; parmi les autres élèves, 10 %. On tire un élève au hasard ; B : « il vient en bus », R : « il arrive en retard au moins une fois par mois ».

Arbre pondéré : Au premier niveau, les branches portent P(B) et P(B̅). Au second niveau, les branches portent des probabilités conditionnelles : la branche de B vers R porte PB(R), la branche de B̅ vers R porte PB̅(R).

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.

Probabilité d'un chemin : La probabilité de l'intersection lue au bout d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

P(B ∩ R) = P(B) × PB(R)

C'est la définition de PB(R), multipliée par P(B).

Ici : P(B ∩ R) = 0,4 × 0,25 = 0,1 et P(B̅ ∩ R) = 0,6 × 0,1 = 0,06.

De l'arbre au tableau d'effectifs : Pour répondre à une question du type « sachant R, quelle est la probabilité de B ? », on imagine une population, par exemple de 1 000 élèves, et l'on remplit un tableau avec les pourcentages de l'arbre :

On lit alors P(R) = 160/(1 000) = 0,16 et PR(B) = 100/160 = 0,625.

Une remarque sur l'arbre : Les élèves en retard sont ceux du chemin B → R et ceux du chemin B̅ → R : on retrouve P(R) = 0,1 + 0,06 = 0,16 en additionnant les probabilités de ces deux chemins.

4. Ne pas inverser le conditionnement : les faux positifs

Le vocabulaire des tests : On teste une population pour une maladie. M : « la personne est malade », T : « le test est positif ».

Un faux positif est une personne non malade dont le test est positif ; un faux négatif, une personne malade dont le test est négatif.

La sensibilité du test est PM(T) ; sa spécificité est PM̅(T̅).

Un test très fiable… et une surprise (valeurs fictives) : Une maladie touche 1 % d'une population. Le test a une sensibilité de 99 % et une spécificité de 95 %. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?

Sur 10 000 personnes : 100 sont malades, dont 99 testées positives ; 9 900 ne sont pas malades, dont 5 %, soit 495, testées positives (faux positifs).

PT(M) = 99/594 = 1/6 ≈ 0,17

Une personne testée positive n'a qu'une chance sur six d'être malade, alors que PM(T) = 0,99.

PA(B) et PB(A) sont deux nombres différents : « Le test détecte 99 % des malades » donne PM(T). La question du patient testé positif est PT(M). Les confondre, c'est croire qu'un test positif signifie « malade à 99 % ». Les faux positifs sont nombreux parce que les non-malades sont beaucoup plus nombreux que les malades.

À retenir

Résumé :

1. PA(B) = (P(A ∩ B))/(P(A)), avec P(A) ≠ 0 ; dans un tableau d'effectifs, PA(B) = (Card(A ∩ B))/(Card(A)).

2. « Sachant A », « parmi les A » : A s'écrit en indice et fournit le dénominateur.

3. Arbre pondéré : au second niveau, des probabilités conditionnelles ; probabilité d'un chemin = produit, P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).

4. Pour remonter un arbre, on passe par un tableau d'effectifs.

5. PA(B) ≠ PB(A) en général : c'est le piège des faux positifs.