Probabilités

Probabilités — Seconde

Probabilités

Introduction

Les probabilités modélisent le hasard. On ne prévoit pas le résultat d'un lancer de dé ; on peut en revanche choisir un modèle qui attribue à chaque résultat une chance de se produire, et en déduire des calculs.

1. Vocabulaire

Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel se produira.

Vocabulaire des événements :

  • Univers Ω : ensemble de toutes les issues
  • Événement : partie de Ω ; il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient
  • Événement élémentaire : événement formé d'une seule issue
  • Événement certain : Ω ; événement impossible : ∅
  • Événement contraire de A, noté A̅ : formé des issues qui ne sont pas dans A
  • A ∩ B (« A et B ») : issues qui sont à la fois dans A et dans B
  • A ∪ B (« A ou B ») : issues qui sont dans A, dans B, ou dans les deux
  • A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅

Un lancer de dé : Ω = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. L'événement « obtenir un nombre pair » est A = {2 ;4 ;6}, son contraire est A̅ = {1 ;3 ;5}.

2. Choisir un modèle : la loi de probabilité

Loi de probabilité : Sur un univers fini Ω = {ω₁ ;ω₂ ;… ;ωₙ}, une loi de probabilité associe à chaque issue ωᵢ un nombre pᵢ compris entre 0 et 1, de sorte que

p₁ + p₂ + ⋯ + pₙ = 1

Un modèle se choisit, il ne se démontre pas : Une loi de probabilité est une hypothèse : c'est le modèle que l'on choisit pour représenter la situation réelle. Deux façons de la choisir :

par une hypothèse d'équiprobabilité, qu'il faut dire : « le dé est équilibré », « on tire au hasard un élève de la classe » ;

à partir de fréquences observées sur un grand nombre de répétitions (leçon 4603) : on observe environ 105 naissances de garçons pour 100 naissances de filles, et l'on modélise le sexe d'un nouveau-né par P(garçon) ≈ 0,512.

Le modèle n'est pas la réalité : un vrai dé n'est jamais parfaitement équilibré.

Probabilité d'un événement : La probabilité d'un événement A, notée P(A), est la somme des probabilités des issues qui le composent. On a toujours 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1 et P(∅) = 0.

Équiprobabilité : Si toutes les issues ont la même probabilité, alors

P(A) = (nombre d'issues de A)/(nombre d'issues de Ω) = (Card(A))/(Card(Ω))

où Card(A), le cardinal de A, est le nombre d'éléments de A.

Un dé équilibré : P(pair) = (Card({2 ;4 ;6}))/(Card(Ω)) = 3/6 = 1/2.

3. Tirer au sort dans une population

Probabilité et proportion : On tire au sort, avec équiprobabilité, un individu dans une population Ω. La probabilité qu'il appartienne à une sous-population A est la proportion de A dans Ω :

P(A) = (Card(A))/(Card(Ω))

Le baccalauréat 2024 : On tire au sort un candidat parmi les 753 milliers de candidats au baccalauréat 2024, dont 687 milliers ont été admis (DEPP). La probabilité qu'il soit admis est 687/753 ≈ 0,91.

Le vocabulaire se correspond : sous-population et événement, proportion et probabilité. C'est ce qui permettra, à la leçon suivante, de passer des fréquences conditionnelles aux probabilités conditionnelles.

4. Événement contraire

Probabilité de l'événement contraire : Pour tout événement A :

P(A̅) = 1 - P(A)

Ne pas tirer un roi : Dans un jeu de 32 cartes, P(roi) = 4/32 = 1/8, donc P(pas un roi) = 1 - 1/8 = 7/8.

Le réflexe « au moins un » : « Au moins un pile en deux lancers » a pour contraire « aucun pile », c'est-à-dire « face, face » : P = 1 - 1/4 = 3/4. Le contraire est souvent plus court à calculer.

Approfondissement : la réunion de deux événements : Hors des attendus du programme de Seconde, mais utile : pour deux événements quelconques, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), car les issues communes à A et B seraient sinon comptées deux fois. Si A et B sont incompatibles, il reste P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

En Seconde, on peut toujours s'en passer : on compte les issues de A ∪ B une à une, sans doublon.

5. Arbres de probabilités

Utiliser un arbre : Un arbre représente une expérience qui se déroule en plusieurs étapes.

  1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.

  2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

  3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Deux lancers d'une pièce équilibrée : Chaque chemin a pour probabilité 1/2 × 1/2 = 1/4. L'événement « obtenir une fois pile et une fois face » est réalisé par les chemins PF et FP : P = 1/4 + 1/4 = 1/2.

À retenir

Résumé :

  1. Une loi de probabilité est un modèle : une hypothèse qu'on choisit et qu'on explicite.

  2. P(A) est la somme des probabilités des issues de A ; en situation d'équiprobabilité, P(A) = (Card(A))/(Card(Ω)).

  3. Tirage au sort dans une population : probabilité = proportion.

  4. P(A̅) = 1 - P(A).

  5. Arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins.