Ajustement affine : interpoler, extrapoler

Introduction

Quand un nuage de points est à peu près allongé le long d'une droite, on peut le résumer par cette droite. On obtient alors une formule, y = ax + b, qui permet d'estimer une valeur que le tableau ne donne pas : une année manquante, ou une année à venir.

Il n'existe pas une seule bonne droite. Le programme en propose trois — au jugé, la droite de Mayer, la droite des moindres carrés — et aucune théorie n'est attendue : il s'agit de savoir les obtenir, les comparer et s'en servir avec prudence.

1. L'idée d'un ajustement affine

Ajustement affine : Ajuster un nuage par une droite D d'équation y = ax + b, c'est choisir une droite qui passe au plus près de ses points. Pour toute valeur de x, le nombre ax + b est alors une estimation de y.

Équation d'une droite passant par deux points : Pour la droite passant par A(xA ; yA) et B(xB ; yB), avec xA ≠ xB :

1. le coefficient directeur est a = (yB - yA)/(xB - xA) (écart des ordonnées divisé par écart des abscisses) ;

2. on trouve b en écrivant que A est sur la droite : yA = a xA + b.

Ce que dit le coefficient directeur : Le coefficient directeur a est la variation moyenne de y quand x augmente de 1, dans l'unité de y. Si x compte des années et y des milliers de naissances, a = -11,75 signifie : environ 11 750 naissances de moins chaque année, en moyenne. Ce n'est pas un pourcentage.

2. L'ajustement au jugé

Tracer une droite au jugé :

1. À la règle, trace une droite qui suit l'allongement du nuage, avec à peu près autant de points de part et d'autre. La faire passer par le point moyen G est un bon repère.

2. Lis sur ta droite (pas sur le nuage) deux points bien écartés, aux coordonnées faciles à lire.

3. Calcule l'équation de la droite qui passe par ces deux points.

La banquise arctique en septembre : Chaque année, la banquise arctique atteint son étendue minimale en septembre. Étendue moyenne de septembre, en millions de km², arrondie au dixième, tous les quatre ans ; x est le nombre d'années depuis 1997.

Source : NSIDC (National Snow and Ice Data Center), Sea Ice Index, version 4, consulté en octobre 2026.

Une élève trace au jugé une droite qui passe par A(0 ; 6,8) et B(20 ; 4,8), deux points de sa droite.

a = (4,8 - 6,8)/(20 - 0) = (-2)/20 = -0,1 et, comme A est sur la droite, b = 6,8.

Sa droite a pour équation y = -0,1x + 6,8 : selon elle, la banquise de septembre a perdu en moyenne 0,1 million de km², soit 100 000 km², par an.

Au jugé, chacun trouve sa droite : Deux élèves ne tracent pas la même droite, et ne font donc pas les mêmes estimations. Les deux méthodes suivantes donnent, elles, une droite que tout le monde retrouve à l'identique.

3. La droite de Mayer

Construire la droite de Mayer :

1. Range les points par abscisses croissantes.

2. Partage le nuage en deux groupes de même effectif : la première moitié et la seconde moitié. (Avec un nombre impair de points, les groupes diffèrent d'un point ; on précise alors où va le point du milieu.)

3. Calcule le point moyen G₁ du premier groupe et le point moyen G₂ du second.

4. La droite de Mayer est la droite (G₁G₂).

La banquise, par la méthode de Mayer : On reprend les six relevés de la banquise. Premier groupe (1997, 2001, 2005) et second groupe (2009, 2013, 2017) :

G₁((0 + 4 + 8)/3 ; (6,7 + 6,7 + 5,5)/3) = G₁(4 ; 6,3)

G₂((12 + 16 + 20)/3 ; (5,3 + 5,2 + 4,8)/3) = G₂(16 ; 5,1)

Coefficient directeur : a = (5,1 - 6,3)/(16 - 4) = (-1,2)/12 = -0,1. Comme G₁ est sur la droite, 6,3 = -0,1 × 4 + b, donc b = 6,7.

La droite de Mayer a pour équation y = -0,1x + 6,7. Elle est parallèle à la droite tracée au jugé, et presque confondue avec elle : ici, l'œil de l'élève était bon.

La droite de Mayer passe par le point moyen : Quand les deux groupes ont le même effectif, le point moyen G du nuage est le milieu du segment [G₁G₂] : la moyenne de tous les xᵢ est la moyenne de x̄₁ et x̄₂, et de même pour les yᵢ. Il est donc sur la droite (G₁G₂).

Ici, G(10 ; 5,7), puisque x̄ = 60/6 = 10 et ȳ = (34,2)/6 = 5,7 ; et -0,1 × 10 + 6,7 = 5,7 : c'est un contrôle gratuit de tout le calcul.

4. La droite des moindres carrés, au tableur

Écarts et moindres carrés : Pour une droite y = ax + b, l'écart (ou résidu) du point Mᵢ est eᵢ = yᵢ - (a xᵢ + b) : la distance verticale entre le point et la droite, comptée positivement si le point est au-dessus.

La droite des moindres carrés est celle qui rend la somme e₁² + e₂² + ⋯ + eₙ² la plus petite possible. Le tableur la calcule ; on admet qu'elle passe par le point moyen G.

Obtenir la droite des moindres carrés : Avec les xᵢ en colonne A et les yᵢ en colonne B :

1. =PENTE(B2:B6;A2:A6) donne le coefficient directeur a ;

2. =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B6;A2:A6) donne l'ordonnée à l'origine b ;

3. ou bien =DROITEREG(B2:B6;A2:A6) renvoie les deux à la fois, a puis b, à condition de la saisir sur deux cellules côte à côte (dans une seule cellule, certains tableurs n'affichent que a) ; sur le graphique, « ajouter une courbe de tendance linéaire » et « afficher l'équation » donnent la même droite.

Les y d'abord : Dans ces trois fonctions, on donne d'abord la plage des y, puis celle des x. Les inverser ne provoque aucune erreur : le tableur calcule simplement une autre droite, fausse pour la question posée.

Comparer deux droites par la somme des carrés : Pour le nuage du CO₂ de la leçon précédente, le tableur donne y = 2,45x + 401,6, et l'on vérifie qu'elle passe par G(4 ; 411,4) : 2,45 × 4 + 401,6 = 411,4.

Ses écarts valent -0,6 ; 0,5 ; 0,6 ; -0,3 et -0,2, d'où une somme des carrés égale à 0,36 + 0,25 + 0,36 + 0,09 + 0,04 = 1,1.

Une droite tracée au jugé, y = 2x + 404, a pour écarts -3 ; -1 ; 0 ; 0 et 1 : leur somme des carrés vaut 9 + 1 + 0 + 0 + 1 = 11, dix fois plus que 1,1.

Pourquoi des carrés ? : Toute droite qui passe par G a une somme d'écarts nulle : les écarts positifs compensent exactement les négatifs. Même la droite horizontale y = 411,4, qui ne suit pas du tout le nuage, est dans ce cas. Élever les écarts au carré les rend tous positifs, et pénalise davantage les gros écarts : la comparaison devient possible.

5. Interpoler, extrapoler

Interpolation et extrapolation : Une fois la droite choisie, on remplace x par une valeur et l'on calcule ax + b.

Si cette valeur de x est à l'intérieur de la plage des données, c'est une interpolation.

Si elle est à l'extérieur, souvent dans le futur, c'est une extrapolation.

Les naissances en France : Naissances en milliers, une année sur deux (Insee), et droite des moindres carrés y = -11,75x + 811,6, où x est le nombre d'années depuis 2014 :

Interpolation : 2019 correspond à x = 5, à l'intérieur de la plage [0 ; 8]. On calcule -11,75 × 5 + 811,6 = 752,85, soit environ 753 000 naissances. L'Insee en a compté 753 383 : l'estimation est excellente.

Extrapolation : 2024 correspond à x = 10, en dehors de la plage. On calcule -11,75 × 10 + 811,6 = 694,1, soit environ 694 000. L'Insee en a compté 660 787 (valeur provisoire) : la droite surestime de plus de 33 000, car la baisse s'est accélérée après 2022.

Extrapoler, c'est parier que la tendance continue : Une droite d'ajustement résume les années observées. L'utiliser au-delà suppose que rien ne change, et l'erreur grandit à mesure qu'on s'éloigne des données. Une extrapolation lointaine ne donne qu'un ordre de grandeur, jamais une prévision sûre.

Répondre à une question de seuil : « À partir de quelle année y dépasserait-il k ? » : on résout l'inéquation ax + b > k (en divisant par a, on change le sens de l'inégalité si a est négatif), on prend le premier entier qui convient, on contrôle avec l'entier précédent, puis on convertit le rang en année.

À retenir

Résumé :

1. Un ajustement affine remplace un nuage à peu près aligné par une droite y = ax + b ; son coefficient directeur est la variation moyenne de y quand x augmente de 1.

2. Au jugé : une droite tracée à la main, dont on calcule l'équation par deux de ses points.

3. Mayer : la droite (G₁G₂) qui joint les points moyens des deux moitiés du nuage ; elle passe par G.

4. Moindres carrés : la droite donnée par le tableur (PENTE, ORDONNEE.ORIGINE, DROITEREG, les y d'abord), qui rend la somme des carrés des écarts la plus petite possible ; elle passe par G.

5. Interpoler (à l'intérieur des données) est en général fiable ; extrapoler (au-dehors) suppose que la tendance continue, et doit être commenté avec prudence.