Deux caractères quantitatifs : nuage de points et point moyen

Introduction

Quand les deux caractères sont des nombres — l'année et la concentration de CO₂ dans l'atmosphère, la température extérieure et la consommation de chauffage —, on ne range plus les individus dans des cases : on les place comme des points dans un repère. La forme du nuage obtenu dit si, et comment, les deux caractères sont liés.

1. Série statistique à deux variables

Série à deux variables : On observe deux caractères quantitatifs sur n individus. Pour l'individu numéro i, on note xᵢ la valeur du premier et yᵢ celle du second. La liste des couples (xᵢ ; yᵢ) est une série statistique à deux variables.

Les données sont souvent chronologiques : le premier caractère est le temps. Pour travailler avec de petits nombres, on remplace l'année par son rang, c'est-à-dire le nombre d'années écoulées depuis la première année du tableau.

Le CO₂ de l'atmosphère : La concentration de dioxyde de carbone (CO₂) dans l'atmosphère est mesurée depuis 1958 à l'observatoire de Mauna Loa, à Hawaï ; ces relevés figurent parmi ceux qu'utilise le Giec. Moyennes annuelles, en parties par million (ppm), arrondies à l'unité, une année sur deux :

Source : NOAA, Global Monitoring Laboratory, relevés de Mauna Loa (consultés en octobre 2026).

Le rang de 2019 est 2019 - 2015 = 4 : c'est un écart d'années, pas la position de la colonne dans le tableau.

2. Le nuage de points

Nuage de points : Dans un repère, on place les n points Mᵢ(xᵢ ; yᵢ). Cet ensemble de points est le nuage de points de la série.

Représenter un nuage de points :

1. Choisis quel caractère va en abscisse : le temps, ou celui dont on pense que l'autre dépend.

2. Choisis pour chaque axe une échelle qui occupe la place disponible. L'axe vertical n'a pas besoin de commencer à 0.

3. Gradue les axes régulièrement et indique ce que représente chaque axe, avec son unité.

Lire les graduations avant de lire la forme : Sur la figure, l'axe vertical commence vers 400 ppm. C'est permis, et même utile pour voir les variations — mais une hausse de 20 ppm y paraît spectaculaire, alors qu'elle représente 5 % de la concentration. Repère toujours l'origine et les unités avant de commenter un graphique.

3. Décrire un nuage

Pour décrire un nuage, on regarde quatre choses :

• son sens : quand x augmente, y a-t-il tendance à augmenter, à diminuer, ou rien de net ?
• sa forme : les points sont-ils à peu près alignés, ou dessinent-ils une courbe ?
• sa dispersion : les points sont-ils serrés ou éparpillés ?
• d'éventuels points atypiques, très éloignés des autres.

Deux nuages de CO₂ : Le nuage de 2015 à 2023 monte régulièrement, et ses points sont presque alignés : une droite le résumerait bien.

Tous les dix ans de 1961 à 2011 (figure ci-dessus), le nuage monte aussi, mais en s'incurvant vers le haut : la concentration augmente de 8 ppm entre 1961 et 1971, de 21 ppm entre 2001 et 2011. Une seule droite le résumera mal sur toute la période.

Un lien statistique n'est pas une cause : Un nuage allongé montre que deux caractères varient ensemble. Il ne montre pas que l'un cause l'autre : les ventes de glaces et les coups de soleil augmentent ensemble en été, parce que tous deux dépendent du soleil. Établir une cause demande d'autres arguments que le nuage : pour le CO₂ et le réchauffement, ce sont les lois de la physique que mobilise le Giec.

4. Le point moyen

Point moyen : Le point moyen du nuage est le point G(x̄ ; ȳ), où x̄ est la moyenne des xᵢ et ȳ la moyenne des yᵢ :

x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ)/n ȳ = (y₁ + y₂ + ⋯ + yₙ)/n

Le point moyen du nuage de CO₂ : Le nuage compte 5 points.

x̄ = (0 + 2 + 4 + 6 + 8)/5 = 20/5 = 4

ȳ = (401 + 407 + 412 + 416 + 421)/5 = 2057/5 = 411,4

Le point moyen est G(4 ; 411,4) : sur ces cinq années, la concentration moyenne est de 411,4 ppm.

Calculer une moyenne de tête : le décalage : Retirer le même nombre à toutes les valeurs, calculer la moyenne de ce qui reste, puis rajouter ce nombre. Ici, on retire 400 : il reste 1, 7, 12, 16 et 21, de somme 57, donc de moyenne 57/5 = 11,4 ; on rajoute 400 et l'on retrouve ȳ = 411,4.

Deux erreurs à éviter : On divise par le nombre de points, pas par le nombre d'années de la période : diviser 2057 par 9 (de 2015 à 2023) ne donne la moyenne de rien.

Et le point moyen n'est pas forcément un point du nuage : G(4 ; 411,4) n'en est pas un, puisque le point d'abscisse 4 a pour ordonnée 412.

Le centre du nuage : Le point moyen est le « centre » du nuage. Une droite qui résume bien le nuage passe près de lui ; à la leçon suivante, les droites de Mayer et des moindres carrés passeront exactement par G.

5. Au tableur

Nuage et point moyen au tableur :

1. Saisis les xᵢ dans la colonne A et les yᵢ dans la colonne B, une ligne par individu.

2. Calcule x̄ avec =MOYENNE(A2:A6) et ȳ avec =MOYENNE(B2:B6).

3. Sélectionne les deux colonnes et insère un graphique de type nuage de points.

Nuage de points, pas « courbe » ni « ligne » : Un graphique en ligne place les valeurs à intervalles réguliers, quels que soient les xᵢ. Avec des années manquantes, il déforme le nuage. Le type « nuage de points » place chaque point à sa vraie abscisse.

À retenir

Résumé :

1. Une série à deux variables est une liste de couples (xᵢ ; yᵢ) ; on la représente par un nuage de points, en lisant toujours l'origine et les unités des axes.

2. Décrire un nuage : son sens, sa forme (alignée ou courbée), sa dispersion, ses points atypiques.

3. Le point moyen est G(x̄ ; ȳ) ; on divise par le nombre de points. Ce n'est pas forcément un point du nuage.

4. Deux caractères qui varient ensemble sont liés ; cela ne prouve pas que l'un est la cause de l'autre.