Deux caractères qualitatifs : le tableau croisé

Introduction

Jusqu'ici, tu as étudié un caractère à la fois : les notes d'une classe, la taille des élèves, leur moyen de transport. Mais les questions qui comptent portent souvent sur deux caractères à la fois. La réussite au baccalauréat dépend-elle de la voie suivie ? Les femmes et les hommes occupent-ils les mêmes emplois ? Répondre, c'est croiser deux caractères : c'est l'objet de la statistique à deux variables.

Cette leçon traite deux caractères qualitatifs ; les deux suivantes, deux caractères quantitatifs.

1. Population, individus, caractères

Vocabulaire : On étudie une population formée d'individus : des candidats au baccalauréat, des personnes en emploi, des années. Un caractère est ce que l'on observe sur chaque individu.

Il est qualitatif quand ses valeurs, appelées modalités, ne sont pas des nombres : la voie (générale, technologique, professionnelle), le sexe, la catégorie d'emploi.

Il est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres : une température, un nombre de naissances, une concentration de gaz.

Croiser deux caractères qualitatifs, c'est compter combien d'individus présentent à la fois une modalité du premier et une modalité du second.

2. Le tableau croisé d'effectifs

Tableau croisé d'effectifs : Un tableau croisé (ou tableau à double entrée) range les individus selon deux caractères : une modalité du premier par ligne, une modalité du second par colonne. Chaque case donne l'effectif des individus qui présentent les deux modalités à la fois.

La dernière ligne et la dernière colonne, appelées marges, donnent les totaux. La case en bas à droite est l'effectif total.

Le baccalauréat 2024 : Candidats présents au baccalauréat 2024 selon la voie et le résultat, en milliers (arrondis au millier) :

Source : ministère de l'Éducation nationale, DEPP, Note d'information n° 25.05 (février 2025), résultats définitifs de la session 2024.

Lecture : environ 35 000 candidats sont à la fois de la voie professionnelle et non admis.

Le double contrôle des marges : Chaque total de ligne est la somme de sa ligne, chaque total de colonne la somme de sa colonne, et les deux marges redonnent le même effectif total : 390 + 155 + 208 = 753 et 687 + 66 = 753. Ce contrôle attrape presque toutes les erreurs de recopie.

3. Trois sortes de fréquences

Un effectif seul dit peu de chose : 35 milliers de candidats non admis en voie professionnelle, est-ce beaucoup ? Tout dépend de ce à quoi on le rapporte. Il y a trois choix, et chacun répond à une question différente.

Fréquence d'une case : On divise l'effectif de la case par l'effectif total : 35/753 ≈ 0,046. Parmi tous les candidats, environ 4,6 % sont de la voie professionnelle et non admis.

Fréquence marginale : On divise un total de ligne ou de colonne par l'effectif total : 208/753 ≈ 0,28. Environ 28 % des candidats sont de la voie professionnelle.

Fréquence conditionnelle : On divise l'effectif d'une case par le total de sa ligne ou de sa colonne, c'est-à-dire par l'effectif du groupe dans lequel on se place.

35/208 ≈ 0,17 : parmi les candidats de la voie professionnelle, environ 17 % ne sont pas admis.

35/66 ≈ 0,53 : parmi les candidats non admis, environ 53 % viennent de la voie professionnelle.

« Parmi qui ? » : la question qui décide du dénominateur : 17 % et 53 % sont calculés à partir de la même case, et ils ne disent pas du tout la même chose. Le dénominateur est le groupe désigné par « parmi » : les candidats de la voie professionnelle dans le premier cas, les non-admis dans le second.

Écrire « plus de la moitié des candidats de la voie professionnelle échouent » à partir du nombre 53 %, c'est confondre les deux : en réalité, 83 % d'entre eux sont admis.

Calculer une fréquence conditionnelle :

1. Repérer le groupe de référence, celui qui suit « parmi » : c'est une ligne ou une colonne du tableau.

2. Diviser l'effectif de la case par le total de ce groupe.

3. Contrôler : une fréquence est comprise entre 0 et 1, et les fréquences conditionnelles d'un même groupe ont pour somme 1.

Le lien avec les probabilités : Si l'on choisit au hasard un candidat de ce tableau, la fréquence « parmi les candidats de la voie professionnelle, part des non-admis » devient une probabilité conditionnelle, notée PPᵣₒ(Non admis) = 35/208. Tu retrouveras cette notation PA(B) dans le chapitre de probabilités : elle se calcule sur un tableau croisé exactement comme ici.

4. Comparer des profils

Pour savoir si la réussite dépend de la voie, on compare les voies entre elles, chacune rapportée à son propre effectif : on divise chaque case par le total de sa ligne.

Chaque ligne s'appelle un profil : c'est la répartition des résultats à l'intérieur d'une voie. (Calculés sur les effectifs arrondis au millier, ces pourcentages peuvent différer de quelques dixièmes de ceux que publie la DEPP, par exemple 90,0 % pour la voie technologique.)

Les profils diffèrent nettement : la part des non-admis est quatre fois plus grande en voie professionnelle qu'en voie générale (16,8 % contre 4,1 %). On dit que les deux caractères sont liés. S'ils ne l'étaient pas, les trois profils seraient tous proches du profil d'ensemble.

Un lien n'est pas une explication : Le tableau montre que la réussite et la voie sont liées ; il ne dit pas pourquoi. Les candidats des trois voies ne passent pas les mêmes épreuves et n'ont pas les mêmes parcours. Conclure qu'« une voie fait échouer » serait aller bien au-delà de ce que disent les chiffres.

5. Représenter le croisement de deux caractères

Le tableau ci-dessous donne, pour les femmes et pour les hommes en emploi en 2023, la répartition entre les catégories socioprofessionnelles. Ce sont des fréquences conditionnelles : chaque colonne est un profil, et sa somme vaut 100 %, aux arrondis près.

(1) Agriculteurs, artisans, commerçants et chefs d'entreprise. Source : Insee, enquête Emploi 2023, personnes en emploi, France hors Mayotte. Chaque pourcentage est arrondi au dixième : additionnés, ceux des femmes donnent 100,1 %.

Le diagramme en barres groupées : Pour chaque catégorie, on place côte à côte une barre pour les femmes et une barre pour les hommes. La hauteur est la fréquence conditionnelle, pas l'effectif : c'est ce qui rend comparables deux groupes de tailles différentes.

D'un coup d'œil, on voit que les femmes sont plus souvent employées, les hommes plus souvent ouvriers : la catégorie d'emploi et le sexe sont liés.

Les diagrammes circulaires : Un diagramme circulaire représente une répartition : chaque secteur a un angle proportionnel à sa fréquence, angle = f × 360^∘.

Pour croiser deux caractères, on trace un diagramme par groupe, un pour les femmes et un pour les hommes, et l'on compare les secteurs. Le secteur « Employés » mesure 0,388 × 360^∘ ≈ 140^∘ chez les femmes, mais 0,121 × 360^∘ ≈ 44^∘ chez les hommes.

38,8 % des femmes en emploi sont employées, ce qui ne dit pas que 38,8 % des employés sont des femmes : Le tableau donne la répartition des femmes entre les catégories. Pour connaître la part des femmes parmi les employés, il faut l'autre fréquence conditionnelle, calculée sur le total des employés : elle est d'environ trois sur quatre.

6. Au tableur

Un fichier de données a une ligne par individu et une colonne par caractère : par exemple la voie en colonne A et le résultat en colonne B, des lignes 2 à 1001.

Construire un tableau croisé à partir d'un fichier :

1. Prépare une grille : les modalités du premier caractère en lignes, celles du second en colonnes.

2. Dans chaque case, compte les individus qui vérifient les deux conditions avec la fonction NB.SI.ENS, par exemple =NB.SI.ENS(A2:A1001;"Générale";B2:B1001;"Admis").

3. Calcule les marges avec SOMME, puis contrôle que les deux marges donnent le même effectif total.

4. Pour les fréquences conditionnelles en ligne, divise chaque case par le total de sa ligne. Pour pouvoir recopier la formule vers la droite, fige la colonne du total : c'est une référence absolue, que la plupart des tableurs notent avec le symbole dollar.

5. Sélectionne le tableau des fréquences et insère un diagramme en barres groupées, ou un diagramme circulaire par ligne.

La plupart des tableurs proposent aussi un tableau croisé dynamique, qui réalise les étapes 2 et 3 en quelques clics.

À retenir

Résumé :

1. Un tableau croisé range les individus selon deux caractères ; ses marges donnent les totaux, qui se contrôlent dans les deux sens.

2. Fréquence d'une case : effectif de la case divisé par l'effectif total. Fréquence marginale : total d'une ligne ou d'une colonne divisé par l'effectif total.

3. Fréquence conditionnelle : effectif de la case divisé par le total du groupe de référence, celui qui suit « parmi ». Inverser le groupe change complètement le résultat.

4. Pour comparer des groupes de tailles différentes, on compare leurs profils (fréquences conditionnelles), en barres groupées ou en diagrammes circulaires : angle = f × 360^∘.

5. Des profils différents montrent que les caractères sont liés, ce qui ne dit pas pourquoi.