La loi binomiale

Loi binomiale — Terminale Spécialité

La loi binomiale

Introduction

Dans un schéma de Bernoulli, on s'intéresse rarement à l'ordre des succès : on veut savoir combien il y en a. Combien de bonnes réponses dans un QCM rempli au hasard, combien de pièces défectueuses dans un lot, combien de passagers à l'embarquement.

Cette leçon donne la loi de ce nombre, la démontre — c'est une démonstration exigible au bac —, puis apprend à la calculer.

1. Définition

Loi binomiale : Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la variable aléatoire X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).

X prend les valeurs entières 0, 1, 2, …, n.

Le premier paramètre est un nombre d'épreuves (un entier), le second une probabilité (entre 0 et 1) : B(3 ; 10) n'a aucun sens.

2. La probabilité de k succès

Expression de la loi binomiale : Si X suit la loi B(n ; p), alors pour tout entier k compris entre 0 et n :

P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ

Démonstration.

  1. L'événement {X = k} est formé des listes de n résultats qui comportent exactement k succès. Dans l'arbre, ce sont les chemins qui passent exactement k fois par une branche S.

  2. D'après la leçon précédente, chacune de ces listes a la même probabilité pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ.

  3. Il reste à les compter. Une telle liste est entièrement déterminée par les positions de ses k succès parmi les n épreuves : choisir ces positions, c'est choisir une partie à k éléments de l'ensemble {1, 2, …, n}. D'après le chapitre Combinatoire, il y en a C(n,k).

  4. Ces listes sont des issues distinctes, donc des événements incompatibles deux à deux : la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités, soit C(n,k) fois le même nombre pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ.

Le cas n = 4, k = 2, en entier : Les listes de 4 résultats à exactement 2 succès sont

SSS̅ S̅ — SS̅SS̅ — SS̅ S̅S — S̅SSS̅ — S̅SS̅S — S̅ S̅SS

Il y en a bien C(4,2) = (4 × 3)/2 = 6 : une par façon de placer les deux succès parmi les quatre positions. Chacune a pour probabilité p²(1 - p)², d'où P(X = 2) = 6 p²(1 - p)².

Ce que compte chaque facteur :

  • C(n,k) : le nombre de chemins qui mènent à k succès ;
  • pᵏ : les k succès ;
  • (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ : les n - k échecs.

Contrôle d'un coup d'œil : les deux exposants ont pour somme n.

Remarque. Les événements {X = 0}, {X = 1}, …, {X = n} se partagent toutes les issues, sans se recouper : la somme des P(X = k) vaut donc 1, comme pour toute loi de probabilité.

3. Modéliser par une loi binomiale

Justifier qu'une variable suit une loi binomiale : Le correcteur attend quatre mentions, dans cet ordre :

  1. l'épreuve répétée, le succès choisi et sa probabilité p ;
  2. le nombre n de répétitions ;
  3. l'indépendance des répétitions — ou, pour un prélèvement sans remise dans une très grande population, le fait qu'on l'admet en approximation ;
  4. la conclusion : « X compte le nombre de succès, donc X suit la loi B(n ; p) ».

Un QCM rempli au hasard : Un QCM comporte 8 questions ; chacune propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question, indépendamment.

Chaque question est une épreuve de Bernoulli de succès « bonne réponse », de probabilité p = 1/4 ; elle est répétée n = 8 fois, de façon indépendante ; X compte les bonnes réponses, donc X suit la loi B(8 ; 0,25).

P(X = 3) = C(8,3) × 0,25³ × 0,75⁵ = 56 × 0,015625 × 0,2373… ≈ 0,208

4. Représentation graphique

La loi de X se représente par un diagramme en bâtons : en abscisse les valeurs k de 0 à n, en ordonnée les probabilités P(X = k).

Ce qu'on lit sur le diagramme :

  • les valeurs les plus probables se trouvent autour de np ;
  • le diagramme est symétrique quand p = 0,5, décalé vers la gauche quand p < 0,5, vers la droite quand p > 0,5 ;
  • quand n augmente, le diagramme s'étale : chaque valeur, prise isolément, devient peu probable.

5. Espérance, variance et écart type

Espérance, variance et écart type de la loi binomiale : Si X suit la loi B(n ; p) :

E(X) = np V(X) = np(1 - p) σ(X) = √(np(1 - p))

D'où viennent ces formules. Elles se démontrent au chapitre suivant, « Sommes de variables aléatoires » : on y écrit X comme la somme X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ de n variables de Bernoulli indépendantes — une par épreuve —, et chacune apporte p à l'espérance et p(1 - p) à la variance. Les admettre ici ne coûte rien ; on peut d'ailleurs les vérifier sur un petit cas.

Vérification pour n = 2 : P(X = 0) = (1 - p)², P(X = 1) = 2p(1 - p), P(X = 2) = p².

E(X) = 0 + 2p(1 - p) + 2p² = 2p - 2p² + 2p² = 2p ✓

E(X²) = 2p(1 - p) + 4p² = 2p + 2p², donc V(X) = 2p + 2p² - (2p)² = 2p - 2p² = 2p(1 - p) ✓

Cent lancers d'une pièce : X, le nombre de Pile en 100 lancers d'une pièce équilibrée, suit B(100 ; 0,5) : E(X) = 50, V(X) = 25 et σ(X) = 5. On attend 50 Pile en moyenne, et des écarts de l'ordre de 5 autour de cette moyenne n'ont rien d'étonnant.

Deux contrôles : E(X) = np est un nombre de succès : il est compris entre 0 et n. Répondre p seul, c'est donner l'espérance d'une épreuve.

V(X) = np(1 - p) est toujours inférieure à E(X) = np, puisqu'on la multiplie par 1 - p < 1.

6. Calculer : calculatrice et programme

Deux calculs suffisent pour tout le chapitre, et toutes les calculatrices du lycée les font :

  • la probabilité ponctuelle P(X = k) ;
  • la probabilité cumulée P(X ≤ k), somme des P(X = i) pour i allant de 0 à k.

Leur nom et leur menu changent d'un modèle à l'autre : on les trouve dans le menu des lois de probabilité, à la ligne de la loi binomiale, et l'on y entre n, p et k. Le mode d'emploi de la calculatrice précise lequel des deux calculs fait chaque commande — c'est la seule chose à vérifier.

Tous les autres calculs s'y ramènent :

on cherche on calcule
P(X ≤ k) la cumulée en k
P(X < k) P(X ≤ k - 1)
P(X ≥ k) 1 - P(X ≤ k - 1)
P(X > k) 1 - P(X ≤ k)
P(a ≤ X ≤ b) P(X ≤ b) - P(X ≤ a - 1)

La borne qui disparaît : P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2), et non 1 - P(X ≤ 3) : la valeur 3 fait partie de l'événement, elle ne doit pas être retirée. Pour la même raison, P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 2).

Sans calculatrice, deux fonctions Python font le même travail. La fonction comb du module math calcule le coefficient binomial :

from math import comb

def proba(n, p, k):
    # P(X = k) pour X de loi B(n ; p)
    return comb(n, k) * pow(p, k) * pow(1 - p, n - k)

def cumul(n, p, k):
    # P(X <= k) : on additionne P(X = i) pour i de 0 à k
    s = 0
    for i in range(k + 1):
        s = s + proba(n, p, i)
    return s

À retenir

Résumé :

  1. X = nombre de succès dans un schéma de Bernoulli ⟹ X suit B(n ; p).

  2. P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ : C(n,k) chemins, chacun de probabilité pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ.

  3. E(X) = np, V(X) = np(1 - p), σ(X) = √(np(1 - p)) — démontrées au chapitre « Sommes de variables aléatoires ».

  4. Toute probabilité se ramène à P(X = k) et à la cumulée P(X ≤ k) ; attention à la borne : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1).