Épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli

Loi binomiale — Terminale Spécialité

Épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli

Introduction

Un QCM rempli au hasard, un lot de pièces contrôlées une à une, des passagers qui se présentent ou non à l'embarquement : chaque fois, une même expérience à deux issues se répète, et l'on veut savoir combien de fois elle réussit.

Ce chapitre construit le modèle qui répond à cette question — le schéma de Bernoulli — puis, à la leçon suivante, la loi du nombre de succès : la loi binomiale. Tout part d'un outil que tu connais depuis la Première : l'arbre, sur lequel on multiplie le long d'un chemin.

1. Succession d'épreuves indépendantes

Le modèle : On réalise successivement n épreuves aléatoires indépendantes : le résultat de l'une n'influence pas celui des autres. Une issue de l'expérience complète est une liste (x₁, x₂, …, xₙ), où x₁ est le résultat de la première épreuve, x₂ celui de la deuxième, et ainsi de suite.

Dans ce modèle, la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes :

P((x₁, x₂, …, xₙ)) = P(x₁) × P(x₂) × ⋯ × P(xₙ)

L'ensemble des issues est un produit cartésien : si la première épreuve a pour issues Ω₁ et la seconde Ω₂, l'univers est Ω₁ × Ω₂, l'ensemble des couples. On le représente par un arbre : chaque chemin est une issue, et la règle « on multiplie le long d'un chemin » est exactement la propriété ci-dessus.

Un dé, puis une pièce : On lance un dé équilibré, puis une pièce équilibrée. L'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {P, F} compte 6 × 2 = 12 couples, et chacun a pour probabilité 1/6 × 1/2 = 1/12.

La probabilité d'obtenir un nombre pair, puis Pile, vaut 3/6 × 1/2 = 1/4.

Successives ne veut pas dire indépendantes : Le produit simple ne vaut que pour des épreuves indépendantes. Tirer deux boules sans remise est une succession d'épreuves, mais la seconde dépend de la première : on revient alors aux probabilités conditionnelles, P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).

Deux ou trois épreuves quelconques

Quand les épreuves ne sont pas indépendantes, ou qu'elles diffèrent d'une étape à l'autre, l'arbre reste l'outil. On porte sur chaque branche la probabilité conditionnelle de l'étape, on multiplie le long d'un chemin, et l'on additionne les chemins qui réalisent l'événement : c'est la formule des probabilités totales.

Trois questions de difficultés différentes : Un candidat répond à trois questions, de façon indépendante, avec les probabilités de réussite 0,9, 0,8 et 0,5. Les épreuves sont indépendantes, mais pas identiques.

« Exactement deux réussites » est réalisé par trois chemins — l'échec peut porter sur la 3ᵉ, la 2ᵉ ou la 1ʳᵉ question :

0,9 × 0,8 × 0,5 + 0,9 × 0,2 × 0,5 + 0,1 × 0,8 × 0,5 = 0,36 + 0,09 + 0,04 = 0,49

Les trois chemins n'ont pas la même probabilité. C'est précisément ce qui va changer avec des épreuves identiques.

Trois tirages sans remise : un arbre conditionnel : Une urne contient 4 boules rouges (R) et 6 bleues (B). On tire successivement 3 boules sans remise, et l'on note X le nombre de rouges. Les tirages ne sont pas indépendants : on porte sur chaque branche la probabilité sachant les tirages précédents (après une rouge, il reste 3 rouges sur 9 boules).

  • X = 3 : le chemin RRR, 4/10 × 3/9 × 2/8 = 24/720 = 1/30 ;
  • X = 2 : trois chemins (RRB, RBR, BRR), chacun de probabilité 72/720 (par exemple 4/10 × 3/9 × 6/8), soit 216/720 = 3/10 ;
  • X = 1 : trois chemins, chacun de probabilité 120/720, soit 360/720 = 1/2 ;
  • X = 0 : le chemin BBB, 6/10 × 5/9 × 4/8 = 120/720 = 1/6.

Contrôle : 1/30 + 3/10 + 1/2 + 1/6 = (1 + 9 + 15 + 5)/30 = 1.

Prise isolément, la deuxième boule est rouge avec la probabilité 4/10 × 3/9 + 6/10 × 4/9 = 36/90 = 0,4 (formule des probabilités totales), comme la première : ce qui manque, c'est l'indépendance, pas l'égalité des probabilités.

2. Épreuve et loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire à deux issues, appelées succès (S) et échec (S̅). On note p la probabilité du succès ; celle de l'échec est 1 - p.

Presque toute expérience peut devenir une épreuve de Bernoulli : il suffit de décider ce qu'on appelle « succès ». Lancer un dé a six issues, mais « obtenir un 6 » contre « ne pas obtenir un 6 » en fait une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 1/6.

Loi de Bernoulli : La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p (parfois notée B(p)) :

k 0 1
P(X = k) 1 - p p

Espérance et variance d'une variable de Bernoulli : Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p :

E(X) = p V(X) = p(1 - p)

Démonstration. Par définition de l'espérance, E(X) = 0 × (1 - p) + 1 × p = p.

Par définition de la variance, en pondérant chaque écart au carré par sa probabilité :

V(X) = (0 - p)² × (1 - p) + (1 - p)² × p = p(1 - p)(p + (1 - p)) = p(1 - p)

On a mis p(1 - p) en facteur, et il reste p + 1 - p = 1.

Un contrôle gratuit : Le produit p(1 - p) est maximal pour p = 1/2, où il vaut 1/4. La variance d'une variable de Bernoulli ne dépasse donc jamais 0,25 : un résultat plus grand signale une erreur.

3. Schéma de Bernoulli

Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité de succès p) et indépendantes.

Ses issues sont les listes de n résultats, chacun égal à S ou à S̅ : l'univers est {S, S̅}ⁿ, qui compte 2ⁿ listes (chapitre Combinatoire : listes de n éléments pris dans un ensemble à 2 éléments). L'arbre a n niveaux et 2ⁿ chemins.

Probabilité d'une liste : Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, toute liste qui comporte k succès, donc n - k échecs, a pour probabilité

pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ

quel que soit l'ordre dans lequel les succès et les échecs apparaissent.

En effet, par indépendance, on multiplie k facteurs égaux à p et n - k facteurs égaux à 1 - p ; l'ordre des facteurs ne change pas un produit.

Trois lancers francs : Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 0,8, indépendamment d'un lancer à l'autre. Sur trois lancers, la liste (S, S̅, S) a pour probabilité

0,8 × 0,2 × 0,8 = 0,8² × 0,2 = 0,128

— exactement comme (S, S, S̅) et (S̅, S, S), les deux autres listes à deux succès.

Reconnaître un schéma de Bernoulli : quatre vérifications :

  1. une même épreuve est répétée un nombre fixé n de fois ;
  2. chaque épreuve n'a que deux issues, succès ou échec ;
  3. la probabilité du succès p est la même à chaque épreuve ;
  4. les épreuves sont indépendantes.

Le piège classique : le tirage sans remise : Tirer 3 boules sans remise dans une urne de 4 rouges et 6 bleues n'est pas un schéma de Bernoulli : les tirages ne sont pas indépendants. La probabilité de tirer une rouge au deuxième tirage sachant que la première était rouge vaut 3/9, et non 4/10. (Prise isolément, chaque boule tirée est encore rouge avec la probabilité 0,4 : la condition 3 tient, c'est la condition 4, l'indépendance, qui tombe — et son absence suffit à exclure le schéma de Bernoulli.)

Et les probabilités ne sont pas celles d'un schéma de Bernoulli : on a calculé plus haut P(X = 0) = 1/6 ≈ 0,167 sans remise, alors que trois tirages avec remise donneraient 0,6³ = 0,216.

L'exception d'usage : quand on prélève un petit échantillon dans une très grande population — moins de 10 % de la population, en pratique —, retirer les individus prélevés ne modifie presque pas la proportion. On modélise alors comme si les tirages étaient faits avec remise, et on le dit dans la copie.

À retenir

Résumé :

  1. Épreuves indépendantes : la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de ses composantes ; on la lit sur un arbre.

  2. Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès (p) et échec (1 - p). Loi de Bernoulli : E(X) = p et V(X) = p(1 - p).

  3. Schéma de Bernoulli : n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Une liste à k succès a pour probabilité pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ, quel que soit l'ordre.

  4. Des tirages sans remise ne sont pas indépendants : ce n'est pas un schéma de Bernoulli. Seule exception d'usage, un petit échantillon prélevé dans une très grande population, qu'on modélise comme des tirages avec remise — en le disant.