Équations et inéquations trigonométriques

Introduction

Résoudre x = a, c'est chercher les réels dont le point image a pour abscisse a. Résoudre x a, c'est chercher ceux dont le point image est sur la droite verticale d'abscisse a ou à sa gauche. Deux outils disent la même chose : le cercle et la courbe. Le programme demande de savoir le faire sur l'intervalle [-,;,], qui correspond à un tour de cercle.

1. L'équation x = a

Solutions de cos x = a : Soit a un réel.

Si a < -1 ou a > 1, l'équation n'a aucune solution, car -1 x 1.
Si -1 a 1, il existe un unique réel [0,;,] tel que = a. Sur [-,;,], les solutions sont et - (confondues si a = 1, puisqu'alors = 0).
Sur R, les solutions sont les réels x = + 2k et x = - + 2k, avec k Z.

Pourquoi. Sur [0,;,], le cosinus est continu et strictement décroissant de 1 à -1 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il prend chaque valeur de [-1,;,1] une seule fois, en un réel . Comme le cosinus est pair, (-) = = a aussi ; et sur [-,;,0], il est strictement croissant, donc - y est la seule solution.

Sur le cercle, c'est visible : la droite verticale d'abscisse a coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Une valeur remarquable : Résoudre x = 1{2} sur [-,;,].

On reconnaît {3} = 1{2}, avec {3} [0,;,]. Donc = {3} et S = {-{3},;,{3}}.

Une valeur négative : Résoudre x = -{2}{2} sur [-,;,].

L'angle remarquable {4} a pour cosinus {2}{2}. Son supplémentaire, - {4} = 3{4}, est dans [0,;,] et a pour cosinus -{2}{2}, puisque ( - x) = - x. Donc = 3{4} et S = {-3{4},;,3{4}}.

Quand a n'est pas une valeur remarquable : x = 0{,}3 a aussi deux solutions sur [-,;,] : et -, avec [0,;,]. La calculatrice (touche ^{-1}, en mode radian) donne 1{,}266.

2. Par la courbe

Résoudre graphiquement cos x = a : On trace, sur [-,;,], la courbe du cosinus et la droite horizontale d'équation y = a. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

Le tableau de variations explique pourquoi il y en a deux quand -1 < a < 1 : le cosinus passe une fois par la valeur a en montant, sur [-,;,0], et une fois en descendant, sur [0,;,].

Verticale sur le cercle, horizontale sur la courbe : Sur le cercle, x se lit horizontalement (c'est une abscisse) : on trace une droite verticale. Sur la courbe, x se lit verticalement (c'est une ordonnée) : on trace une droite horizontale. Les deux figures donnent les mêmes solutions.

3. L'équation x = a

Solutions de sin x = a : Si -1 a 1, il existe un unique réel [-{2},;,{2}] tel que = a. Les solutions sur R sont :

[formule]

Les points images de et de - sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : ils ont la même ordonnée.

L'unicité de vient, comme pour le cosinus, du théorème des valeurs intermédiaires : sur [-{2},;,{2}], le sinus est continu et strictement croissant de -1 à 1.

Ramener dans l'intervalle : Sur [-,;,], la valeur - peut en sortir. Exemple : x = -1{2} donne = -{6} et - = 7{6}, qui dépasse . On lui retire un tour : 7{6} - 2 = -5{6}. Donc S = {-5{6},;,-{6}} : deux solutions dans la moitié basse du cercle, ce qui est cohérent avec un sinus négatif.

4. L'inéquation x a sur [-,;,]

On suppose -1 < a < 1, et on note ]0,;,[ le réel tel que = a.

Par le cercle :

Résoudre d'abord l'équation x = a : on obtient - et .
Tracer la droite verticale d'abscisse a. Les réels tels que x a sont ceux dont le point image est sur la droite ou à sa gauche.
Lire cet arc en restant dans [-,;,]. Il part de M(), passe par le point (-1,;,0) — image de et de - — puis rejoint M(-). Il s'écrit donc en deux morceaux :

[formule]

Par la courbe : On cherche où la courbe du cosinus est sous la droite y = a, ou la touche — l'inégalité étant large. Le cosinus croît sur [-,;,0] puis décroît sur [0,;,] : il est inférieur ou égal à a « aux deux bouts » de l'intervalle, pour x - et pour x . On retrouve S = [-,;,-] [,;,].

Exemple : Résoudre x 1{2} sur [-,;,]. Ici = {3}, donc :

[formule]

Contrôle : x = 0 n'est pas solution, puisque 0 = 1 > 1{2} ; x = l'est, puisque = -1 1{2}.

L'inégalité dans l'autre sens : Résoudre x > {2}{2} sur [-,;,]. On garde cette fois les points situés strictement à droite de la droite d'abscisse {2}{2}. Ils forment un arc d'un seul tenant, autour de I :

[formule]

Les crochets sont ouverts car l'inégalité est stricte : en {4}, il y a égalité.

5. L'analogue en sinus

Résoudre sin x ≥ a ou sin x ≤ a : Même démarche avec une droite horizontale d'ordonnée a : x a correspond aux points sur la droite ou au-dessus, x a aux points sur la droite ou en dessous. On lit l'arc obtenu en restant dans [-,;,].

Exemple : Résoudre x 1{2} sur [-,;,]. Les solutions de l'équation sont {6} et - {6} = 5{6}, et l'arc situé au-dessus de la droite est d'un seul tenant :

[formule]

En revanche, x 1{2} donne l'arc complémentaire, qui passe par le point (-1,;,0) et se coupe donc en deux :

[formule]

Le point de coupure : Sur [-,;,], la « couture » du cercle est le point (-1,;,0), image à la fois de - et de . Un arc solution qui passe par ce point s'écrit en deux intervalles ; un arc qui ne le contient pas s'écrit en un seul. L'écriture [5{6},;,13{6}] décrit bien un arc du cercle, mais elle n'est pas une partie de [-,;,].

6. Se ramener à une équation de référence

Isoler le cosinus ou le sinus :

2 x + 1 = 0 x = -1{2} : on est ramené au cas du paragraphe 1.
2^2 x - x - 1 = 0 : on pose X = x, on résout 2X^2 - X - 1 = 0, puis on revient à x — en écartant toute racine hors de [-1,;,1].
(2x) = 1{2} : on pose X = 2x. Attention : si x [-,;,], alors X [-2,;,2], soit deux tours de cercle.

Un angle doublé : Résoudre (2x) = 1{2} sur [-,;,].

On pose X = 2x, qui parcourt [-2,;,2]. L'équation X = 1{2} a pour solutions X = {3} + 2k et X = -{3} + 2k ; celles qui sont dans [-2,;,2] sont :

[formule]

On divise par 2 : S = {-5{6},;,-{6},;,{6},;,5{6}}.

Quatre solutions, et non deux : la fonction x (2x) a pour période , elle fait deux tours quand x en fait un.

À retenir

Résumé :

x = a, avec -1 a 1 : on cherche [0,;,] tel que = a ; sur [-,;,], les solutions sont - et .
x = a : les solutions sont et - , à ramener dans l'intervalle demandé en ajoutant ou retirant 2.
x a sur [-,;,] (avec -1 < a < 1) : S = [-,;,-] [,;,], les points du cercle situés sur la droite verticale d'abscisse a ou à sa gauche.
Sur la courbe : les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection avec la droite y = a ; celles de x a, les abscisses où la courbe est sous la droite ou la touche (au-dessus ou la touchant pour x a).
Toujours contrôler avec une valeur simple, et vérifier que chaque solution est dans l'intervalle demandé.