Dérivées, variations et études de fonctions
Introduction
La leçon précédente a lu sur le cercle que le cosinus diminue quand x va de 0 à . La dérivée permet de le démontrer — et surtout d'étudier n'importe quelle fonction construite avec et : la vitesse d'un ressort, l'aire d'une figure qui se déforme, un signal qui oscille.
1. Dérivées de sinus et cosinus
Dérivées de sinus et cosinus : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R, et pour tout réel x :
[formule]
Ce résultat est admis. En 0, il revient à la limite _{h 0} h{h} = 1 : la courbe du sinus part de l'origine avec une pente égale à 1.
Un contrôle sur les courbes : En x = 0, la courbe du sinus monte avec une tangente de coefficient directeur 0 = 1 : c'est la droite d'équation y = x. La courbe du cosinus, elle, atteint son maximum en 0 : sa tangente y est horizontale, et en effet '(0) = - 0 = 0.
Le signe « moins » : Il n'apparaît qu'en dérivant le cosinus. Pour ne pas se tromper, retiens que dériver fait tourner dans le cycle :
[formule]
Exemple : Soit f(x) = 3 x - 2 x + x. Par somme :
[formule]
2. Variations sur [-,;,]
Grâce à la périodicité, étudier les deux fonctions sur un intervalle de longueur 2 suffit. Le signe de la dérivée se lit sur le cercle.
Variations du cosinus : '(x) = - x :
- sur [-,;,0], M(x) est dans la moitié basse du cercle, donc x 0 et '(x) 0 : le cosinus est croissant ;
- sur [0,;,], x 0 donc '(x) 0 : le cosinus est décroissant.
| x | - | 0 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| '(x) | 0 | + | 0 | - | 0 |
| x | -1 | 1 | -1 |
Variations du sinus : '(x) = x :
- sur [-,;,-{2}] et sur [{2},;,], M(x) est dans la moitié gauche du cercle, donc x 0 : le sinus est décroissant ;
- sur [-{2},;,{2}], x 0 : le sinus est croissant.
| x | - | -{2} | {2} | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| '(x) | -1 | - | 0 | + | 0 | - | -1 |
| x | 0 | -1 | 1 | 0 |
Les symétries le confirment : Le tableau du cosinus est symétrique autour de 0 : c'est la parité. Et ces deux tableaux suffisent pour tout R, puisque tout se répète avec la période 2.
3. Dérivée de (ax + b) et (ax + b)
Dérivées de cos(ax + b) et sin(ax + b) : Soient a et b deux réels. Les fonctions x (ax + b) et x (ax + b) sont dérivables sur R, et pour tout réel x :
[formule]
[formule]
D'où ça vient. C'est la [[derivee-composee|dérivée d'une fonction composée]] : x (ax + b) est la composée v u de u : x ax + b, suivie de v = . Comme (v u)' = u' (v' u), avec u'(x) = a et v' = - :
[formule]
Exemples :
- f(x) = (3x) : ici a = 3, donc f'(x) = -3(3x).
- g(t) = 5(2t - {4}) : ici a = 2, donc g'(t) = 5 2(2t - {4}), soit g'(t) = 10(2t - {4}).
Plus généralement : Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle : ( u)' = -u' u et ( u)' = u' u.
Période de cos(ax + b) et sin(ax + b) : Pour a 0, les fonctions x (ax + b) et x (ax + b) sont périodiques, et leur plus petite période strictement positive est 2{|a|}.
En effet, pour a > 0 : a(x + 2{a}) + b = ax + b + 2. Ajouter 2{a} à x fait faire un tour complet à ax + b. Par exemple, t (2t) a pour période : l'angle 2t tourne deux fois plus vite que t, donc chaque oscillation dure deux fois moins longtemps.
Le facteur a ne s'oublie pas : ((3x))' vaut -3(3x), et non -(3x). La fonction x (3x) oscille trois fois plus vite que le cosinus : ses pentes sont trois fois plus fortes.
4. Étudier une fonction trigonométrique
Étudier une fonction construite avec sin et cos :
- Réduire l'intervalle quand c'est possible, grâce à la périodicité et à la parité.
- Dériver, avec les formules ci-dessus et les règles habituelles (somme, produit, quotient).
- Factoriser f'(x) : le signe d'un produit s'étudie facteur par facteur.
- Étudier le signe de chaque facteur : un facteur qui contient x ou x se lit sur le cercle, ou se résout comme une inéquation (leçon suivante).
- Dresser le tableau de variations et conclure — en comparant les extremums locaux aux valeurs aux bornes de l'intervalle.
Une inégalité à connaître
Pour tout x positif, sin x est inférieur ou égal à x : On pose g(x) = x - x sur [0,;,+[. Alors g'(x) = x - 1.
Comme x 1 pour tout réel x, on a g'(x) 0 : g est décroissante sur [0,;,+[. Donc, pour tout x 0, g(x) g(0) = 0, c'est-à-dire :
[formule]
Un problème d'optimisation géométrique
On considère le cercle de centre O et de rayon 1. Pour [0,;,{2}], le point M(,;,) est sur le quart de cercle situé dans le premier quadrant. On construit le rectangle OPMQ, avec P(,;,0) et Q(0,;,). Pour quelle valeur de son aire est-elle maximale ?
Résolution : L'aire. Les côtés du rectangle mesurent OP = et OQ = (deux nombres positifs sur cet intervalle), donc :
[formule]
La dérivée. Par la règle du produit, avec ' = - et ' = :
[formule]
soit A'() = ^2 - ^2. Comme ^2 = 1 - ^2, on obtient A'() = 2^2 - 1.
Le signe. Sur [0,;,{2}], 0, donc A'() 0 ^2 1{2} {2}{2}. Or le cosinus est décroissant sur cet intervalle et vaut {2}{2} en {4} : A est croissante sur [0,;,{4}], puis décroissante sur [{4},;,{2}].
La conclusion. L'aire est maximale pour = {4}, et vaut A({4}) = {2}{2} {2}{2} = 1{2}. Le meilleur rectangle est un carré, de côté {2}{2}.
Contrôle sur la courbe
La courbe de A sur [0,;,{2}] confirme le calcul : elle monte jusqu'en = {4}, où elle atteint 1{2}, puis redescend jusqu'à 0 — aux deux bouts, A(0) = A({2}) = 0, car le rectangle est aplati.
À retenir
Résumé :
- ' = et ' = -.
- ((ax + b))' = -a(ax + b) et ((ax + b))' = a(ax + b) ; pour a 0, ces fonctions ont pour période 2{|a|}.
- Sur [-,;,] : croît de -1 à 1 sur [-,;,0], puis décroît de 1 à -1 sur [0,;,].
- Sur [-,;,] : décroît sur [-,;,-{2}], croît sur [-{2},;,{2}], puis décroît sur [{2},;,].
- Pour étudier une fonction trigonométrique : dériver, factoriser, étudier le signe de chaque facteur sur le cercle, puis comparer les extremums locaux aux valeurs aux bornes.