Les fonctions sinus et cosinus

Introduction

En Première, tu as défini x et x comme les coordonnées du point image d'un réel x sur le cercle trigonométrique — et, selon ton année, tu as peut-être déjà rencontré leurs courbes. Ici, on fait varier x et on étudie pour de bon les deux fonctions obtenues, définies sur R, dont les courbes ondulent sans fin. Ce sont les fonctions de tout ce qui se répète — un ressort qui oscille, un son, un courant alternatif, les marées.

Tout ce qu'on sait d'elles se lit sur le cercle. Cette leçon apprend à passer du cercle à la courbe, et retour.

1. Rappel : le point image d'un réel

Cosinus et sinus d'un réel : Dans un repère orthonormé (O,;,I,,J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

En enroulant la droite des réels autour de ce cercle à partir du point I(1,;,0), on associe à tout réel x un point M(x), son point image. Par définition :

[formule]

Ce qu'on sait depuis la Première : Pour tout réel x :

• -1 x 1 et -1 x 1, puisque M(x) est sur un cercle de rayon 1 ;
• ^2 x + ^2 x = 1 (théorème de Pythagore dans le cercle) ;
• les angles associés se lisent par symétrie sur le cercle : ( - x) = - x, ( - x) = x, ( + x) = - x et ( + x) = - x ; et, par la symétrie par rapport à la droite d'équation y = x, qui échange abscisse et ordonnée, ({2} - x) = x et ({2} - x) = x.

Valeurs remarquables :

2. Les fonctions cosinus et sinus

Fonctions cosinus et sinus : La fonction cosinus est la fonction x x ; la fonction sinus est la fonction x x.

• Elles sont définies sur R : tout réel a un point image.
• Elles prennent leurs valeurs dans [-1,;,1], et atteignent -1 et 1.

Ici, x est un nombre réel : La variable x n'est pas un angle en degrés : c'est un nombre réel, la longueur de l'arc parcouru depuis I sur le cercle de rayon 1, comptée positivement dans le sens direct et négativement dans l'autre — autrement dit, la mesure en radians de l'angle. C'est ce qui permet de calculer 10 ou (-100), et de tracer la courbe dans un repère ordinaire, avec x en abscisse.

3. Périodicité

Fonction périodique : Soit T > 0. Une fonction f définie sur R est périodique de période T (on dit aussi T-périodique) si, pour tout réel x :

[formule]

Périodicité de cosinus et sinus : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 : pour tout réel x,

[formule]

Pourquoi ? Le cercle trigonométrique a pour périmètre 2. Avancer de 2, c'est faire un tour complet : on revient au même point, M(x + 2) = M(x), donc à la même abscisse et à la même ordonnée. Plus généralement, pour tout entier relatif k : (x + 2k) = x et (x + 2k) = x.

Une fonction périodique a donc une infinité de périodes. La plus petite période strictement positive s'appelle la période de la fonction : pour le cosinus et le sinus, c'est 2 (4, 6… sont aussi des périodes, mais pas la plus petite).

Traduire graphiquement la périodicité : Si f est T-périodique, sa courbe est inchangée par la translation de T unités parallèlement à l'axe des abscisses : le motif tracé sur un intervalle de longueur T se répète à l'identique, vers la droite comme vers la gauche.

Conséquence pratique : il suffit d'étudier le cosinus et le sinus sur un intervalle de longueur 2, par exemple [-,;,] ou [0,;,2], pour tout connaître d'elles.

Réduire un réel avant de calculer : 13{3} = ({3} + 4) = {3} = 1{2}, car 4 représente deux tours complets.

(-7{6}) = (-7{6} + 2) = 5{6}, et 5{6} = ( - {6}) = 1{2}.

Un demi-tour ne suffit pas : La période n'est pas : après un demi-tour, le point image arrive au point diamétralement opposé, dont les coordonnées sont les opposées. Ainsi (x + ) = - x, et non x. Exemple : 0 = 1, mais = -1.

4. Parité

Fonction paire, fonction impaire : Soit f une fonction définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 (si x est dans D, -x aussi), par exemple R ou [-,;,].

• f est paire si, pour tout x de D, f(-x) = f(x). Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• f est impaire si, pour tout x de D, f(-x) = -f(x). Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine O du repère.

Parité de cosinus et sinus : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire : pour tout réel x,

[formule]

Pourquoi ? Les points images M(x) et M(-x) s'obtiennent en parcourant la même longueur d'arc, une fois dans le sens direct, une fois dans le sens indirect : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Or cette symétrie conserve l'abscisse et change l'ordonnée en son opposée.

Traduire graphiquement la parité :

• La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la partie tracée pour x 0 se reflète comme dans un miroir vertical.
• La courbe du sinus est symétrique par rapport à l'origine : la partie tracée pour x 0 se retrouve en la faisant tourner d'un demi-tour autour de O.

Avec la périodicité, il suffit donc d'étudier les deux fonctions sur [0,;,] : la parité donne [-,;,0], puis la périodicité donne tout R.

Utiliser la parité : (-{4}) = -{4} = -{2}{2}, et (-{6}) = {6} = {3}{2}.

5. Les courbes représentatives

La courbe du cosinus

La courbe passe par son maximum 1 en 0, coupe l'axe des abscisses en {2} et touche son minimum -1 en . On y voit l'axe de symétrie (l'axe des ordonnées) et la répétition tous les 2.

La courbe du sinus

La courbe passe par l'origine, atteint 1 en {2} et -1 en -{2}, et coupe l'axe des abscisses en 0 et . On y voit le centre de symétrie O et la répétition tous les 2.

Ces courbes ondulantes s'appellent des sinusoïdes.

Une seule courbe, décalée : Pour tout réel x, (x + {2}) = x. En effet, d'après les angles associés, ( - X) = X pour tout réel X ; avec X = x + {2} :

[formule]

Or - (x + {2}) = {2} - x, et ({2} - x) = x. Donc :

[formule]

Graphiquement : la courbe du cosinus est celle du sinus translatée de {2} vers la gauche. Le cosinus a un quart de tour d'avance sur le sinus.

6. Du cercle à la courbe

Quand x va de 0 à 2, le point M(x) fait un tour complet en partant de I.

• Le cosinus suit l'abscisse de M(x) : il part de 1, diminue jusqu'à -1 quand M(x) arrive tout à gauche (x = ), puis remonte à 1.
• Le sinus suit l'ordonnée de M(x) : il part de 0, monte à 1 quand M(x) est en J (x = {2}), redescend à 0 en x = , atteint -1 tout en bas (x = 3{2}), et revient à 0.

Lire le cercle sur la courbe, et inversement :

Signes et zéros sur un tour : Sur [-,;,] :

• x = 0 pour x = -{2} et x = {2} : M(x) est alors sur l'axe des ordonnées ;
• x > 0 pour x ]-{2},;,{2}[ : M(x) est dans la moitié droite du cercle ;
• x = 0 pour x {-,;,0,;,} : M(x) est sur l'axe des abscisses ;
• x > 0 pour x ]0,;,[ : M(x) est dans la moitié haute du cercle.

Les sens de variation qu'on vient de lire sur le cercle seront démontrés dans la leçon suivante, grâce à la dérivée.

7. Pour aller plus loin : la fonction tangente

Approfondissement : Là où x 0, on pose x = x{ x}. La fonction tangente est définie pour x {2} + k (k Z) ; elle est impaire et périodique de période — et non 2, car après un demi-tour le sinus et le cosinus changent tous deux de signe, et leur quotient ne change pas. Elle n'est pas au cœur du programme.

À retenir

Résumé :

1. Les fonctions et sont définies sur R, à valeurs dans [-1,;,1].
2. Elles sont 2-périodiques : leur courbe est inchangée par une translation de 2 parallèlement à l'axe des abscisses.
3. est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
4. x se lit sur l'axe horizontal du cercle, x sur l'axe vertical : signes, zéros et extremums des courbes se lisent sur le cercle.
5. Grâce à la parité et à la périodicité, étudier les deux fonctions sur [0,;,] suffit.