Dérivée, études de fonctions et modélisations
C'est la leçon la plus rentable au Bac : la dérivée d'une fonction contenant e^x, l'étude de variations, et les modèles de croissance (l'exercice 3 du Sujet 0 est sur ce thème).
1. Dérivée de la fonction exponentielle
Dérivée fondamentale : La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée est elle-même :
[formule]
C'est la propriété qui définit la fonction (leçon 1).
Propriété unique : La fonction est la seule fonction du programme (à un coefficient près) dont la dérivée est égale à elle-même. C'est pour ça qu'elle apparaît partout en sciences : tout phénomène où la variation est proportionnelle à la quantité présente la fait apparaître.
2. Dérivée de e^{ax + b} et e^{u(x)}
Formule de dérivation à connaître : Pour toute constante réelle a et tout réel b :
[formule]
Plus généralement, pour toute fonction u dérivable :
[formule]
Comment retenir : On dérive « comme si c'était une puissance », et on multiplie par la dérivée de l'exposant. C'est la règle de la chaîne appliquée à l'exponentielle.
Exemple 1 — Dérivée de f(x) = e^{3x} : On a u(x) = 3x, donc u'(x) = 3. Donc :
[formule]
Exemple 2 — Dérivée de g(x) = e^{-2x + 5} : On a u(x) = -2x + 5, donc u'(x) = -2. Donc :
[formule]
⚠ Attention au signe : la dérivée hérite du signe du coefficient devant x.
Exemple 3 — Dérivée de h(x) = e^{x^2 - 1} : On a u(x) = x^2 - 1, donc u'(x) = 2x. Donc :
[formule]
Exemple 4 — Dérivée d'un produit : k(x) = x,e^x : Formule du produit (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = e^x :
[formule]
(On factorise toujours par e^x pour préparer l'étude de signe.)
Vérifie ta compréhension : question: La dérivée de f(x) = e^{5x - 2} est :
- e^{5x - 2}
- 5,e^{5x - 2}
- 5x - 2
- (5x - 2),e^{5x - 2} explication: On applique (e^{u})' = u',e^{u} avec u(x) = 5x - 2 et u'(x) = 5. Donc f'(x) = 5,e^{5x - 2}.
3. Étude complète de f(x) = (ax + b),e^{kx}
C'est l'exercice-type Bac : une fonction produit polynôme × exponentielle, dont on demande variations, signe, extrema, et tracé.
Méthode pas à pas :
- Dériver avec la formule du produit : factoriser systématiquement par e^{kx}.
- Étudier le signe de la dérivée : comme e^{kx} > 0 partout, le signe de f'(x) est celui du facteur polynôme seul.
- Tableau de variations : déduire les extrema éventuels.
- Conclure sur les extrema et leur valeur.
Exemple complet — Étude de f(x) = x,e^{-x} sur R : Étape 1 : Dérivée
On a f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = x et v(x) = e^{-x}.
- u'(x) = 1
- v'(x) = -e^{-x}
Donc : [formule]
Étape 2 : Signe
Comme e^{-x} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de (1 - x) :
- f'(x) > 0 1 - x > 0 x < 1
- f'(x) < 0 x > 1
- f'(x) = 0 x = 1
Étape 3 : Tableau de variations
f est croissante sur ]-,;, 1] et décroissante sur [1,;, +[.
Étape 4 : Conclusion
f admet un maximum en x = 1 qui vaut : [formule]
Donc, pour tout réel x : x,e^{-x} 1{e}.
Erreur classique au Bac : Ne pas oublier la factorisation par e^{kx} : c'est elle qui permet de lire le signe rapidement. Sans cette étape, l'étude de signe devient impossible.
4. Modélisations : croissances et décroissances exponentielles
C'est l'autre exercice classique : un phénomène concret (population, intérêt, refroidissement) est modélisé par f(t) = A,e^{k t} avec A > 0.
Fonction de croissance / décroissance exponentielle : Une fonction de la forme f(t) = A,e^{kt} avec A > 0 modélise :
- une croissance exponentielle si k > 0
- une décroissance exponentielle si k < 0
Le coefficient k s'appelle le taux instantané de variation.
Interprétation des paramètres :
- A = f(0) : valeur initiale (à t = 0).
- k : « vitesse » de la croissance (en unité d'inverse du temps).
- Si k > 0, la fonction est croissante et tend vers +.
- Si k < 0, la fonction est décroissante et tend vers 0 (mais ne s'annule jamais).
Exemple — Population bactérienne : Une population de bactéries est modélisée par N(t) = 200,e^{0{,}05,t} où t est le temps en heures.
a) Population initiale [formule]
b) Population au bout de 10 heures [formule]
c) La population a-t-elle doublé au bout de 14 heures ?
Il faudrait N(14) 400 : [formule]
Oui, la population a (à peine) doublé entre t = 0 et t = 14 heures.
Exemple — Refroidissement (loi de Newton) : Un café à 80,°C refroidit dans une pièce à 20,°C. Sa température est modélisée par :
[formule]
où t est en minutes.
a) Température initiale : T(0) = 20 + 60 = 80,°C ✓
b) Sens de variation : T'(t) = 60 (-0{,}1),e^{-0{,}1 t} = -6,e^{-0{,}1 t} < 0.
T est strictement décroissante : le café refroidit (rassurant !).
c) Limite à long terme : quand t +, e^{-0{,}1 t} 0 (admis en Première, étudié en Tle), donc T(t) 20,°C. Le café tend vers la température ambiante.
5. Tangente à la courbe de l'exponentielle
Équation de la tangente en a : Pour f(x) = e^{kx}, la tangente en x = a a pour équation :
[formule]
Exemple — Tangente à y = e^x en x = 0 : f(x) = e^x donc f'(x) = e^x, f(0) = 1, f'(0) = 1.
[formule]
La tangente à y = e^x au point (0,;,1) est la droite y = x + 1.
À retenir comme encadrement de référence : pour tout réel x, e^x x + 1 (la courbe est au-dessus de sa tangente — propriété de convexité, vue en Terminale).
À retenir
Résumé de la leçon :
(e^x)' = e^x — l'exponentielle est sa propre dérivée.
Formule clé : (e^{u(x)})' = u'(x),e^{u(x)}. En particulier (e^{ax + b})' = a,e^{ax + b}.
Étude de signe d'un produit P(x),e^{ax} : on factorise toujours par e^{ax} puis on étudie le signe du polynôme seul (l'exponentielle est positive).
Modélisations :
- f(t) = A,e^{kt} avec k > 0 : croissance exponentielle.
- f(t) = A,e^{kt} avec k < 0 : décroissance exponentielle.
La courbe de e^x est au-dessus de sa tangente en (0,;,1) : e^x x + 1 (inégalité de référence).