Sens de variation, équations et inéquations

Cette leçon utilise les propriétés algébriques de la leçon précédente pour résoudre les équations et inéquations contenant des exponentielles. C'est l'un des outils les plus testés au Bac Première.

1. Sens de variation

Stricte croissance de l'exponentielle : La fonction x e^x est strictement croissante sur R.

C'est-à-dire : pour tous réels a et b,

[formule]

Pourquoi ? : On admet ou on démontre brièvement : la dérivée de vaut elle-même (par définition), et on a vu que e^x > 0 pour tout x.

Donc (e^x)' = e^x > 0 : la dérivée est strictement positive partout, donc est strictement croissante sur R.

Tableau de variations :

(Les limites _{-} e^x = 0 et _{+} e^x = + seront étudiées en Terminale.)

2. Équations du type e^{u(x)} = e^{v(x)}

Équivalence pour les équations : Pour toutes expressions u(x) et v(x) :

[formule]

Démonstration en une ligne : La fonction étant strictement croissante, elle est injective : deux exposants différents donnent deux valeurs différentes de l'exponentielle. Donc e^{u} = e^{v} impose u = v.

Exemple 1 — Résoudre e^{3x} = e^{2x + 1} : [formule]

Solution : x = 1.

Exemple 2 — Résoudre e^{x^2} = e^{2x + 3} : [formule]

[formule]

C'est un trinôme avec = 4 + 12 = 16, racines :

[formule]

Solutions : S = {-1,;, 3}.

Exemple 3 — Résoudre e^{2x} e^{x-1} = e^{5} : On simplifie d'abord le membre de gauche :

[formule]

L'équation devient :

[formule]

Solution : x = 2.

3. Équations du type e^{u(x)} = a (avec a > 0)

C'est plus délicat en Première car le logarithme n'est pas au programme. On résout uniquement les cas reconnaissables où a s'écrit lui-même comme une exponentielle.

Méthode : On essaie d'écrire le membre de droite comme une exponentielle a = e^c pour un certain c que l'on reconnaît. Ensuite on applique le théorème précédent.

Cas reconnaissables fréquents :

• 1 = e^0
• e = e^1
• e^2, e^3, 1{e} = e^{-1}, 1{e^2} = e^{-2}, etc.

Exemple 1 — Résoudre e^{2x - 4} = 1 : On reconnaît 1 = e^0 :

[formule]

Exemple 2 — Résoudre e^{x + 3} = e^2 : [formule]

Exemple 3 — Résoudre e^{3x} = 1{e} : On reconnaît 1{e} = e^{-1} :

[formule]

Quand on ne reconnaît pas : Si l'énoncé demande de résoudre e^x = 5 ou e^{2x} = 7, on ne peut pas donner de valeur exacte en Première : la solution s'écrit avec le logarithme, qui est au programme de Terminale.

L'énoncé du Bac fournit alors :

• soit une valeur graphique (lecture sur courbe),
• soit une donnée fournie (« on admet que 2 0{,}69 »),
• soit un encadrement par balayage / dichotomie.

4. Inéquations e^{u(x)} e^{v(x)}

Équivalence pour les inéquations : Pour toutes expressions u(x) et v(x) :

[formule]

et de même avec <, , >.

Pourquoi ça marche ? : La fonction étant strictement croissante, elle conserve l'ordre :

• Si u(x) v(x), alors e^{u(x)} e^{v(x)} (croissance).
• Réciproquement, e^{u(x)} e^{v(x)} entraîne u(x) v(x) (sinon l'inégalité serait inversée).

Exemple 1 — Résoudre e^{x + 2} e^{2x - 1} : [formule]

Solution : S = ]-,;, 3].

Exemple 2 — Résoudre e^{x^2 - 4} 1 : On écrit 1 = e^0 :

[formule]

[formule]

Le trinôme est négatif à l'intérieur des racines :

Solution : S = [-2,;, 2].

Vérifie ta compréhension : question: L'inéquation e^{2x - 1} > e^3 équivaut à :

• 2x - 1 < 3
• 2x - 1 > 3, soit x > 2
• 2x - 1 > 3, soit x > 1
• e^{2x} > 4 explication: Croissance stricte de : e^{2x-1} > e^3 2x - 1 > 3 2x > 4 x > 2.

5. Synthèse stratégique

Comment aborder une équation ou inéquation avec exponentielle :

1. Tout simplifier au préalable avec les règles algébriques : produits, quotients, puissances. Le but est d'obtenir e^{u(x)} d'un côté et e^{v(x)} (ou un nombre) de l'autre.
2. Si les deux membres sont des exponentielles : utiliser e^u = e^v u = v (ou même équivalence pour les inégalités).
3. Si un membre est un nombre a > 0 : essayer d'écrire a sous forme e^c. Si impossible : la solution n'est pas accessible en Première (rappel logarithme = Tle).
4. Si un membre vaut 0 ou est négatif : aucune solution, car e^x > 0 toujours.

Erreur très fréquente au Bac : e^x = 0 n'a aucune solution : la fonction exponentielle ne s'annule jamais. De même, e^x = -3 n'a aucune solution.

Avant de te lancer, vérifie toujours que le membre de droite est strictement positif.

À retenir

Résumé de la leçon :

1. La fonction est strictement croissante sur R.

2. Équations : e^{u(x)} = e^{v(x)} u(x) = v(x).

3. Inéquations : e^{u(x)} e^{v(x)} u(x) v(x) (la croissance conserve le sens).

4. Pour résoudre e^{u(x)} = a avec a > 0, on essaie d'écrire a comme une exponentielle (cas reconnaissables).

5. e^x = 0 et e^x < 0 n'ont jamais de solution : e^x est toujours strictement positif.