Fonction exponentielle : définition et propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée puis e^x, est l'une des deux fonctions les plus importantes du lycée (avec la dérivée). Elle modélise les phénomènes de croissance ou décroissance proportionnelle à la quantité présente : population, intérêts composés, désintégration radioactive, refroidissement…
1. Définition de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle : On admet qu'il existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant les deux conditions :
[formule] [formule]
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, notée ou plus souvent e^x.
Lecture de la définition : Cette définition signifie que la fonction exponentielle est sa propre dérivée : la pente de sa courbe en chaque point est égale à la valeur de la fonction en ce point. C'est une propriété unique parmi toutes les fonctions classiques.
Notation : On écrit indifféremment (x) ou e^x. La notation e^x est plus commune et plus pratique pour les calculs algébriques (voir §3).
2. Le nombre e
Nombre e : Le nombre e est défini comme l'image de 1 par la fonction exponentielle :
[formule]
Sa valeur approchée est :
[formule]
C'est un nombre irrationnel (comme ou 2) : impossible à écrire sous forme de fraction.
Valeurs particulières à connaître :
| x | e^x |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | e 2{,}718 |
| 2 | e^2 7{,}389 |
| -1 | 1{e} 0{,}368 |
Ces valeurs encadrent rapidement n'importe quelle valeur de e^x pour x entier.
3. Propriétés algébriques (les « règles de calcul »)
C'est le cœur de ce chapitre : la fonction exponentielle transforme les sommes en produits, ce qui rend les calculs très puissants.
Propriétés fondamentales : Pour tous réels a et b, pour tout entier relatif n :
[formule]
[formule]
[formule]
[formule]
Comment retenir ces formules : On écrit ces règles comme pour les puissances a^n vues en Seconde :
- a^{m+n} = a^m a^n
- a^{-n} = 1{a^n}
- (a^m)^n = a^{m n}
Avec a = e, on retrouve exactement les propriétés ci-dessus. L'exponentielle est une puissance dans laquelle la base est e et l'exposant peut être n'importe quel réel.
Exemple 1 — Simplifier e^3 e^{-5} : On utilise la règle e^{a+b} = e^a e^b « à l'envers » :
[formule]
Ou avec la forme 1{e^2}, ce qui revient au même.
Exemple 2 — Simplifier e^{2x}{e^{x-1}} : On utilise la règle de la division :
[formule]
⚠ Attention au signe : -(x-1) = -x + 1 !
Exemple 3 — Simplifier (e^{-x})^3 e^{4x} : On applique la règle de la puissance :
[formule]
Puis le produit :
[formule]
Vérifie ta compréhension : question: e^5 e^{-2} vaut :
- e^{-10}
- e^3
- e^{7}
- 1{e^3} explication: On additionne les exposants : e^5 e^{-2} = e^{5 + (-2)} = e^3.
4. Positivité : eˣ est toujours strictement positif
Positivité de l'exponentielle : Pour tout réel x :
[formule]
Idée de preuve : On peut écrire x = x{2} + x{2}, donc :
[formule]
Un carré est toujours positif ou nul. Et il ne peut pas être nul, sinon e^x = 0 pour tout x, ce qui contredit e^0 = 1. Donc e^x > 0.
Conséquence très utilisée au Bac : Dans une étude de signe d'un produit f(x) e^{ax}, le facteur e^{ax} est toujours strictement positif. Le signe de f(x) e^{ax} est donc le même que celui de f(x) : on peut « ignorer » l'exponentielle dans les tableaux de signes.
Exemple — Signe de (x - 3),e^{2x} : Le facteur e^{2x} est strictement positif pour tout x. Donc :
[formule]
- (x - 3),e^{2x} > 0 x > 3
- (x - 3),e^{2x} < 0 x < 3
- (x - 3),e^{2x} = 0 x = 3
5. Cas particulier : la suite (eⁿ)
Quand x = n est un entier, on retrouve les puissances de e :
[formule]
Suite géométrique : La suite (u_n) définie par u_n = e^n pour n N est une suite géométrique de premier terme u_0 = 1 et de raison q = e.
En effet : [formule]
Comme e > 1, cette suite est strictement croissante et tend vers +.
À retenir
Résumé de la leçon :
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur R telle que ' = et (0) = 1. On la note e^x.
Le nombre e = e^1 2{,}718 est irrationnel.
Propriétés algébriques (à connaître par cœur) :
- e^{a+b} = e^a e^b
- e^{-a} = 1{e^a}
- (e^a)^n = e^{n,a}
Pour tout réel x : e^x > 0. Cette propriété simplifie tous les tableaux de signes contenant un facteur e^{u(x)}.
La suite (e^n) est géométrique de raison e, strictement croissante.