Équation cartésienne d'un plan, intersections et distances

1. Équation cartésienne d'un plan

Équation cartésienne : Dans un repère orthonormé, un plan P a une équation cartésienne de la forme :

[formule]

où (a; b; c) (0; 0; 0). Le vecteur n(a; b; c) est alors un vecteur normal au plan.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente un plan.

L'équation n'est pas unique : On peut multiplier l'équation par n'importe quel réel non nul : 2x + 4y + 2z - 8 = 0 et x + 2y + z - 4 = 0 représentent le même plan.

Méthode : équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal : Données : un point A(x_A; y_A; z_A) et un vecteur normal n(a; b; c).

Étape 1 : Écrire a x + b y + c z + d = 0 (les 3 coefficients a, b, c sont donnés par n).

Étape 2 : Utiliser le fait que A P, donc a x_A + b y_A + c z_A + d = 0, pour calculer d : [formule]

Exemple : Plan passant par A(1; 2; -1) et de vecteur normal n(3; -1; 2).

Étape 1 : équation de la forme 3x - y + 2z + d = 0.

Étape 2 : A P donne 3 1 - 2 + 2 (-1) + d = 0 3 - 2 - 2 + d = 0 d = 1.

Conclusion : équation de P : 3x - y + 2z + 1 = 0.

Méthode : équation cartésienne d'un plan défini par 3 points : Données : A, B, C trois points non alignés.

1. Calculer AB et AC (vecteurs du plan).
2. Trouver un vecteur normal n(a; b; c) tel que n AB = 0 et n AC = 0 (système à résoudre, voir leçon 2).
3. Appliquer la méthode précédente pour trouver d.

2. Vérifier qu'un point appartient à un plan

Méthode : Pour vérifier si M(x_M; y_M; z_M) P : ax + by + cz + d = 0, il suffit de remplacer les coordonnées de M dans l'équation et de vérifier que le résultat est 0.

• Si a x_M + b y_M + c z_M + d = 0 : M P.
• Sinon : M P.

Exemple : P : 2x - y + z - 5 = 0. Le point M(3; 1; 0) appartient-il à P ?

2 3 - 1 + 0 - 5 = 6 - 1 - 5 = 0 ✓ → M P.

Le point N(1; 0; 4) ? 2 1 - 0 + 4 - 5 = 1 0 → N P.

3. Intersection droite – plan

Méthode : intersection d'une droite et d'un plan : Données : D : représentation paramétrique avec paramètre t, P : équation cartésienne.

Procédé :

1. Remplacer x, y, z de la droite dans l'équation du plan → équation en t.
2. Résoudre cette équation :
   • Une solution t_0 : la droite coupe le plan en un point (remplacer t_0 dans la paramétrique pour obtenir les coordonnées).
   • Aucune solution (0 = k avec k 0) : la droite est parallèle au plan (et non incluse).
   • Tout t (0 = 0) : la droite est incluse dans le plan.

Exemple — Intersection d'une droite et d'un plan : D : cases x = 1 + t y = 2 - t z = 3 + 2t cases, P : x + y + z - 8 = 0.

Remplacement : (1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 8 = 0 6 + 2t - 8 = 0 2t = 2 t = 1.

Coordonnées du point d'intersection : x = 2, y = 1, z = 5. Donc D P = {(2; 1; 5)}.

4. Intersection de deux plans

Position de deux plans : Deux plans P et P' de vecteurs normaux n et n' peuvent être :

Pour trouver l'intersection (cas sécants) : résoudre le système des 2 équations cartésiennes. On obtient typiquement les coordonnées en fonction d'un paramètre → représentation paramétrique de la droite d'intersection.

Exemple : P : x + y - z + 1 = 0 et P' : 2x - y + z - 4 = 0.

Vecteurs normaux : n(1; 1; -1) et n'(2; -1; 1). Non colinéaires (sinon 1{2} = 1{-1}, faux). Donc les plans sont sécants.

Résolution : posons z = t (paramètre). Le système devient : cases x + y = t - 1 2x - y = -t + 4 cases.

Addition : 3x = 3 x = 1. Donc y = (t - 1) - 1 = t - 2.

Représentation paramétrique de la droite d'intersection : [formule]

Vecteur directeur : u(0; 1; 1).

5. Distance d'un point à un plan

Formule de la distance point-plan : Soit P : ax + by + cz + d = 0 (avec n(a; b; c) normal) et M(x_M; y_M; z_M) un point. La distance de M au plan P est :

[formule]

C'est la plus courte distance entre M et un point quelconque du plan, atteinte au projeté orthogonal H de M sur P.

Exemple : P : 2x - y + 2z - 6 = 0 et M(1; 0; 4).

Numérateur : |2 1 - 0 + 2 4 - 6| = |2 + 8 - 6| = 4.

Dénominateur : 4 + 1 + 4 = 9 = 3.

d(M, P) = 4{3}.

6. Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Méthode : trouver le projeté orthogonal H de M sur P : Soit n le vecteur normal à P.

1. **Écrire la droite ** passant par M et de vecteur directeur n : représentation paramétrique.
2. Trouver l'intersection P = {H} (méthode du §3).
3. H est le projeté orthogonal de M sur P.

Vérification : d(M, P) = MH = |MH| (doit coïncider avec la formule du §5).

Exemple : Projeté de M(1; 0; 4) sur P : 2x - y + 2z - 6 = 0.

Étape 1 : n(2; -1; 2). Droite passant par M de vecteur directeur n : cases x = 1 + 2t y = -t z = 4 + 2t cases.

Étape 2 : remplacer dans P : 2(1 + 2t) - (-t) + 2(4 + 2t) - 6 = 0 2 + 4t + t + 8 + 4t - 6 = 0 9t + 4 = 0 t = -4{9}.

Étape 3 : H(1 - 8{9},;, 4{9},;, 4 - 8{9}) = (1{9},;, 4{9},;, 28{9}).

Vérification : MH = (-8{9},;, 4{9},;, -8{9}) = -4{9}n.

|MH| = 4{9} |n| = 4{9} 3 = 4{3} ✓ (coïncide avec la formule du §5).

À retenir

Résumé :

1. Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0 avec n(a; b; c) normal. Toute équation de cette forme = un plan.

2. Méthode point + vecteur normal : déterminer d avec les coordonnées du point.

3. Vérifier qu'un point appartient au plan : remplacer dans l'équation et vérifier = 0.

4. Intersection droite-plan : remplacer la paramétrique dans l'équation, résoudre en t.

5. Intersection 2 plans : si vecteurs normaux non colinéaires → droite (résoudre le système des 2 équations).

6. Distance point-plan : [formule]

7. Projeté orthogonal : intersection de la droite passant par M et dirigée par n avec le plan.