Produit scalaire dans l'espace et orthogonalité

1. Définition du produit scalaire

Produit scalaire (rappel et extension) : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de l'espace est défini par :

[formule]

où (u, v) désigne l'angle entre les deux vecteurs (entre 0 et ).

C'est un nombre réel, qui se note aussi u v (sans flèche, c'est un scalaire).

Cas particulier — Si l'un des vecteurs est nul : Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (par convention, l'angle est mal défini mais la formule donne 0).

2. Expression du produit scalaire en repère orthonormé

Formule cartésienne : Dans un repère orthonormé de l'espace, si u(x; y; z) et v(x'; y'; z'), alors :

[formule]

C'est la formule la plus utilisée en pratique : un produit scalaire dans l'espace = somme de trois produits (contre deux dans le plan).

Exemple 1 : u(2; -1; 3) et v(1; 4; -2).

u v = 2 1 + (-1) 4 + 3 (-2) = 2 - 4 - 6 = -8.

Exemple 2 — Calcul d'une norme : La norme d'un vecteur s'exprime via le produit scalaire : |u|^2 = u u = x^2 + y^2 + z^2.

Pour u(1; -2; 2) : |u|^2 = 1 + 4 + 4 = 9, donc |u| = 3.

3. Propriétés du produit scalaire

Propriétés algébriques (héritées du plan) : Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k :

1. Symétrie : u v = v u.
2. Bilinéarité : (ku) v = k(u v) et (u + v) w = u w + v w.
3. Norme : |u|^2 = u u.
4. Identités remarquables :
   • |u + v|^2 = |u|^2 + 2,u v + |v|^2
   • |u - v|^2 = |u|^2 - 2,u v + |v|^2

4. Orthogonalité

Critère d'orthogonalité : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si :

[formule]

Convention : le vecteur nul 0 est orthogonal à tout vecteur.

Exemple : u(1; 2; -1) et v(3; -1; 1) : u v = 3 - 2 - 1 = 0. Donc u v.

Droites orthogonales / perpendiculaires :

• Deux droites D et D' de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales si u v = 0 (elles peuvent être ou non coplanaires).
• Elles sont perpendiculaires si en plus elles se coupent (donc orthogonales ET sécantes).

Orthogonal ≠ perpendiculaire dans l'espace : Dans le plan, deux droites orthogonales sont automatiquement sécantes (donc perpendiculaires). Mais dans l'espace, des droites peuvent être orthogonales sans se couper (non coplanaires).

Exemple : la droite (Ox) et la droite passant par (0; 0; 5) et dirigée par j sont orthogonales (vecteurs i et j perpendiculaires) mais ne se coupent pas.

5. Vecteur normal à un plan

Vecteur normal à un plan : Un vecteur n non nul est dit normal au plan P s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.

Il suffit (et il faut) qu'il soit orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan.

Caractérisation d'un plan par un point et un vecteur normal : Soit A un point et n un vecteur non nul. Il existe un unique plan P passant par A et de vecteur normal n : c'est l'ensemble des points M tels que :

[formule]

Méthode : trouver un vecteur normal à un plan défini par 2 vecteurs : Soient u et v deux vecteurs non colinéaires du plan P. Un vecteur normal n(a; b; c) vérifie :

[formule]

Système de 2 équations à 3 inconnues : on fixe une coordonnée (souvent c = 1) et on résout les 2 autres.

Exemple — Trouver un vecteur normal : u(1; 1; 0) et v(0; 1; 2) engendrent un plan P. Cherchons n(a; b; c) tel que u n = v n = 0 :

[formule]

En choisissant c = 1 : b = -2 et a = 2. Donc n(2; -2; 1) est un vecteur normal à P.

Vérification : n u = 2 - 2 + 0 = 0 ✓ et n v = 0 - 2 + 2 = 0 ✓.

6. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Droite orthogonale à un plan : Une droite D de vecteur directeur u est orthogonale au plan P de vecteur normal n si et seulement si :

[formule]

Caractérisation équivalente (à savoir absolument) : D P si et seulement si D est orthogonale à 2 droites sécantes de P.

3 caractérisations clés (à connaître) : Une droite D est orthogonale à un plan P ssi :

1. Son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal de P.
2. Elle est orthogonale à toute droite de P.
3. Elle est orthogonale à deux droites sécantes de P (suffisant !).

La caractérisation 3 est la plus utile en exercice : il suffit de prouver l'orthogonalité avec 2 droites bien choisies, pas avec une infinité.

À retenir

Résumé :

1. Formule cartésienne en repère orthonormé : u v = xx' + yy' + zz'.

2. Norme : |u| = x^2 + y^2 + z^2 et |u|^2 = u u.

3. u v u v = 0.

4. Vecteur normal à un plan : non nul et orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan.

5. Droite plan : vecteur directeur colinéaire au vecteur normal du plan, ou orthogonale à 2 droites sécantes du plan.

6. Dans l'espace : orthogonal ≠ perpendiculaire (les droites peuvent être non sécantes).