Vecteurs, repères et droites dans l'espace
1. Vecteurs de l'espace
Vecteur dans l'espace : Un vecteur de l'espace est défini par sa direction, son sens et sa norme. On peut le noter u ou AB (si A et B sont deux points).
Les opérations (addition, multiplication par un réel) et leurs propriétés sont identiques à celles du plan : commutativité, associativité, relation de Chasles AB + BC = AC, etc.
Colinéarité de deux vecteurs : Deux vecteurs u et v de l'espace sont colinéaires s'il existe un réel k tel que :
[formule]
Géométriquement : u et v ont la même direction (sens identiques ou opposés).
2. Vecteurs coplanaires
Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs u, v, w de l'espace sont coplanaires s'il existe trois réels a, b, c non tous nuls tels que :
[formule]
De manière équivalente (et plus pratique) : ils sont coplanaires s'il existe des réels , tels que w = ,u + ,v (en supposant u et v non colinéaires).
Différence plan vs espace : Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires forment toujours une base (tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire d'eux).
Dans l'espace, il faut trois vecteurs non coplanaires pour former une base. Trois vecteurs peuvent être coplanaires ou non.
Exemple : Soit u(1; 0; 0), v(0; 1; 0) et w(2; 3; 0). Alors :
[formule]
Donc u, v, w sont coplanaires (ils sont tous dans le plan d'équation z = 0).
En revanche, u(1; 0; 0), v(0; 1; 0) et k(0; 0; 1) ne sont pas coplanaires : on ne peut pas écrire k comme combinaison de u et v.
3. Repère orthonormé de l'espace
Repère orthonormé direct : Un repère orthonormé de l'espace est la donnée :
- d'un point O (origine),
- de trois vecteurs i, j, k deux à deux orthogonaux et de norme 1.
On note (O; i, j, k).
Tout point M de l'espace est repéré par ses coordonnées M(x; y; z) telles que :
[formule]
Calculs en coordonnées dans un repère orthonormé : Soient A(x_A; y_A; z_A) et B(x_B; y_B; z_B).
| Objet | Formule |
|---|---|
| Coordonnées de AB | (x_B - x_A,;, y_B - y_A,;, z_B - z_A) |
| Norme | AB |
| Milieu de [AB] | (x_A+x_B{2},;,y_A+y_B{2},;,z_A+z_B{2}) |
| Somme u(a;b;c) + v(a';b';c') | (a+a',;,b+b',;,c+c') |
| Produit k,u | (ka,;,kb,;,kc) |
Exemple — Calculer une norme : A(1; 2; -1) et B(3; -2; 1).
AB(2; -4; 2), donc |AB| = 4 + 16 + 4 = 24 = 26.
4. Représentation paramétrique d'une droite
Représentation paramétrique : Soit A(x_A; y_A; z_A) un point et u(a; b; c) un vecteur non nul. La droite D passant par A et de vecteur directeur u est l'ensemble des points M(x; y; z) tels qu'il existe t R vérifiant AM = t,u, soit :
[formule]
C'est la représentation paramétrique de D. Le paramètre t est un réel.
Méthode : trouver une représentation paramétrique : Données : un point A et un vecteur directeur u (ou deux points A et B, auquel cas u = AB).
Procédé : écrire les 3 équations x = x_A + a t, y = y_A + b t, z = z_A + c t.
Exemple 1 — Droite passant par 2 points : Soit A(1; 0; 2) et B(3; 1; 5). Vecteur directeur : AB = (2; 1; 3).
Représentation paramétrique de (AB) :
[formule]
Vérification : t = 0 donne A(1; 0; 2) ✓ ; t = 1 donne B(3; 1; 5) ✓.
Erreur classique : Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut choisir n'importe quel point et n'importe quel vecteur directeur (proportionnel au précédent).
Par exemple, la droite ci-dessus s'écrit aussi cases x = 3 + 4t y = 1 + 2t z = 5 + 6t cases (point B et vecteur 2AB).
5. Vérifier qu'un point appartient à une droite
Méthode : un point M appartient-il à D ? : Vérifier qu'il existe un seul et même t qui satisfait les 3 équations de la représentation paramétrique pour les coordonnées de M.
- Si oui : M D (et t s'appelle le paramètre de M).
- Si non (les 3 équations donnent des t différents) : M D.
Exemple : D : cases x = 1 + 2t y = t z = 2 + 3t cases. Le point M(5; 2; 8) appartient-il à D ?
- 1ère équation : 5 = 1 + 2t t = 2.
- 2e équation : y = t = 2 ✓ (M a bien y = 2).
- 3e équation : z = 2 + 3 2 = 8 ✓.
Les 3 équations donnent t = 2 : M D.
Mais N(5; 2; 9) donnerait t = 2 pour x et y, et z = 9 8 : N D.
6. Position relative de deux droites
Positions possibles : Dans l'espace, deux droites D (vecteur directeur u) et D' (vecteur directeur v) peuvent être :
| Vecteurs directeurs | Intersection | Position |
|---|---|---|
| u et v colinéaires | D = D' | Confondues |
| u et v colinéaires | D D' = | Parallèles strictement |
| u et v non colinéaires | D D' = 1 point | Sécantes |
| u et v non colinéaires | D D' = | Non coplanaires |
Spécificité de l'espace : Dans l'espace, deux droites peuvent être non parallèles ET sans intersection : on dit qu'elles sont non coplanaires (impossible dans le plan).
Exemple : la droite (Ox) et la droite {(0; 1; t),;, t R} ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs i et k non colinéaires) et ne se coupent pas.
Méthode : étudier la position relative : Étape 1 — Comparer les vecteurs directeurs.
- Si colinéaires : tester si un point de D' appartient à D. Oui → confondues, non → parallèles strictement.
Étape 2 — Si non colinéaires : résoudre le système des 6 équations (3 pour D et 3 pour D') avec 2 paramètres t et t'. Si solution unique → sécantes (donner le point), si pas de solution → non coplanaires.
À retenir
Résumé :
Deux vecteurs u, v sont colinéaires si v = k,u ; trois vecteurs sont coplanaires s'ils satisfont une relation linéaire non triviale.
Repère orthonormé (O; i, j, k) → coordonnées M(x; y; z) ; formules de norme, milieu, etc. analogues au plan.
Représentation paramétrique d'une droite passant par A et de vecteur directeur u(a; b; c) : [formule]
Vérifier l'appartenance d'un point : un seul t doit satisfaire les 3 équations.
4 positions relatives de deux droites : confondues, parallèles strictes, sécantes, non coplanaires.