Applications des fonctions affines

Fonctions affines — Seconde

Applications des fonctions affines

Introduction

Les fonctions affines apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes concrets : calcul de prix, conversions d'unités, tarifications... Ce chapitre montre comment modéliser des situations réelles et approfondit l'étude du signe d'une fonction affine.

1. Modélisation de problèmes concrets

Coût total = coût fixe + coût variable : De nombreuses situations de la vie courante se modélisent par une fonction affine :

[formule]

  • b : coût fixe (abonnement, frais d'entrée...)
  • a : coût unitaire (prix par unité produite, par kilomètre...)
  • x : la quantité variable

Exemple : tarif d'un taxi : Un taxi facture 3 € de prise en charge et 1,20 € par kilomètre.

Le prix d'une course de x kilomètres est :

[formule]

Pour une course de 15 km : P(15) = 1{,}2 15 + 3 = 18 + 3 = 21 €.

Exemple : conversion de températures : La conversion Celsius → Fahrenheit est une fonction affine :

[formule]

0 C = 32 F et 100 C = 212 F.

2. Comparaison de deux offres

Méthode : Pour comparer deux tarifs affines C_1(x) = a_1 x + b_1 et C_2(x) = a_2 x + b_2 :

  1. Résoudre C_1(x) = C_2(x) pour trouver le seuil de rentabilité

  2. Étudier le signe de C_1(x) - C_2(x) pour déterminer quelle offre est la moins chère selon x

Exemple :

  • Offre A : 15 € d'abonnement + 0,10 € par SMS → C_A(x) = 0{,}1x + 15
  • Offre B : 5 € d'abonnement + 0,15 € par SMS → C_B(x) = 0{,}15x + 5

Seuil : 0{,}1x + 15 = 0{,}15x + 5 10 = 0{,}05x x = 200

Pour moins de 200 SMS, l'offre B est moins chère. Au-delà de 200 SMS, l'offre A est plus avantageuse.

3. Signe d'une fonction affine

Signe de f(x) = ax + b : Pour a 0, la fonction f s'annule en x_0 = -b{a}.

Si a > 0 : f(x) < 0 pour x < x_0 et f(x) > 0 pour x > x_0

Si a < 0 : f(x) > 0 pour x < x_0 et f(x) < 0 pour x > x_0

Tableau de signes : Pour dresser le tableau de signes de ax + b :

  1. Calculer la racine x_0 = -b{a}

  2. Placer x_0 dans le tableau

  3. Le signe est celui de a après la racine (et l'opposé avant)

Exemple : Signe de f(x) = -3x + 6 :

Racine : x_0 = -6{-3} = 2.

a = -3 < 0 donc : positif pour x < 2, négatif pour x > 2.

4. Résolution d'inéquations du premier degré

Résoudre ax + b > 0 : Cela revient à trouver les valeurs de x où f(x) = ax + b est positive :

  1. Trouver la racine x_0 = -b{a}

  2. Utiliser le tableau de signes

Exemple : Résoudre 2x - 8 0.

Racine : x_0 = 8{2} = 4. Comme a = 2 > 0, la fonction est positive pour x 4.

[formule]

5. Fonctions affines par morceaux

Fonction affine par morceaux : Une fonction affine par morceaux est une fonction dont l'expression est différente selon l'intervalle :

[formule]

Sa courbe est constituée de segments de droites.

Exemple : tarif d'électricité : Un fournisseur facture :

  • 0,15 € par kWh pour les 100 premiers kWh
  • 0,10 € par kWh au-delà de 100 kWh

[formule]

Vérification de la continuité en x = 100 :

  • Par la 1re formule : 0{,}15 100 = 15 €
  • Par la 2e formule : 0{,}10 100 + 5 = 15 € ✅

6. Position relative de deux droites

Rappel : positions relatives : Deux droites d_1 : y = a_1 x + b_1 et d_2 : y = a_2 x + b_2 sont :

Sécantes si a_1 a_2 (elles se coupent en un point)

Parallèles (strictement) si a_1 = a_2 et b_1 b_2

Confondues si a_1 = a_2 et b_1 = b_2

Trouver le point d'intersection : Si a_1 a_2, on résout :

[formule]

Exemple : d_1 : y = 3x - 1 et d_2 : y = -2x + 9.

[formule]

Puis y = 3(2) - 1 = 5. Le point d'intersection est (2 ; 5).

À retenir

Résumé :

  1. C(x) = ax + b modélise des situations à coût fixe + coût variable

  2. Le signe de ax + b change en x_0 = -b{a}, signe de a après x_0

  3. Comparer deux offres → résoudre C_1(x) = C_2(x)

  4. Les fonctions affines par morceaux ont des expressions différentes selon l'intervalle

  5. Deux droites sont sécantes pentes différentes