Équations de droites

Introduction

Toute droite du plan peut s'écrire sous forme d'une équation. Savoir déterminer et utiliser cette équation est essentiel pour l'étude des fonctions et la géométrie analytique.

1. Équation réduite d'une droite

Équation réduite : Toute droite non verticale admet une équation de la forme :

[formule]

• a : coefficient directeur (pente)
• b : ordonnée à l'origine

Une droite verticale a pour équation x = c (constante).

2. Équation cartésienne

Équation cartésienne : Toute droite du plan peut s'écrire sous la forme :

[formule]

où , , sont des constantes réelles ( et non tous deux nuls).

Passage d'une forme à l'autre : y = 2x - 3 s'écrit aussi 2x - y - 3 = 0 (forme cartésienne).

3x + 2y - 6 = 0 s'écrit aussi y = -3{2}x + 3 (forme réduite).

3. Droites parallèles et sécantes

Droites parallèles : Deux droites (non verticales) y = a_1 x + b_1 et y = a_2 x + b_2 sont parallèles si et seulement si :

[formule]

Elles sont confondues si de plus b_1 = b_2.

Exemple :

• y = 3x + 1 et y = 3x - 5 sont parallèles (même pente a = 3, ordonnées à l'origine différentes)
• y = 2x + 1 et y = -x + 4 sont sécantes (2 -1)

4. Droite passant par deux points

Méthode complète : Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) avec x_A x_B.

1. Coefficient directeur : a = y_B - y_A{x_B - x_A}

2. Ordonnée à l'origine : b = y_A - a x_A

3. Équation : y = ax + b

Exemple : Droite passant par A(-1 ; 4) et B(3 ; -2).

[formule]

[formule]

Équation : y = -3{2}x + 5{2}

5. Appartenance d'un point à une droite

Vérification : Un point M(x_0 ; y_0) appartient à la droite y = ax + b si et seulement si :

[formule]

Exemple : Le point C(2 ; 3) appartient-il à la droite y = 2x - 1 ?

On vérifie : 2 2 - 1 = 3 = y_C ✅. Oui !

Le point D(1 ; 5) ? 2 1 - 1 = 1 5. Non.

6. Position relative d'un point et d'une droite

Position par rapport à une droite : Soit la droite d : y = ax + b et un point M(x_0 ; y_0).

Si y_0 > ax_0 + b : M est au-dessus de d

Si y_0 < ax_0 + b : M est en dessous de d

Si y_0 = ax_0 + b : M est sur d

À retenir

Résumé :

1. Droite non verticale : y = ax + b

2. Droite verticale : x = c

3. Parallèles même coefficient directeur

4. a = y{ x} entre deux points

5. Vérifier qu'un point est sur une droite : substituer ses coordonnées