Fonctions affines et linéaires

Fonctions affines — Seconde

Fonctions affines et linéaires

Introduction

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples : leur représentation graphique est une droite. Elles modélisent des situations de proportionnalité ou de variation à taux constant.

1. Définitions

Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme :

[formule]

où a et b sont des nombres réels fixés.

  • a est le coefficient directeur (ou pente)
  • b est l'ordonnée à l'origine

Cas particuliers :

  • Si b = 0 : f(x) = ax est une fonction linéaire (proportionnalité)
  • Si a = 0 : f(x) = b est une fonction constante

Exemples :

  • f(x) = 3x - 2 : fonction affine avec a = 3 et b = -2
  • g(x) = -0{,}5x : fonction linéaire avec a = -0{,}5
  • h(x) = 4 : fonction constante

2. Représentation graphique

La droite y = ax + b : **La courbe représentative d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite :

qui passe par le point (0 ; b) (l'ordonnée à l'origine)

de coefficient directeur (pente) a

Tracer une droite :

  1. Placer le point (0 ; b) sur l'axe des ordonnées

  2. Utiliser la pente a : pour avancer de 1 en abscisse, monter de a en ordonnée

  3. Tracer la droite passant par ces deux points

Exemple : Pour f(x) = 2x + 1 :

  • Point de départ : (0 ; 1)
  • Pente a = 2 : de (0 ; 1) on va à (1 ; 3)
  • On trace la droite passant par (0 ; 1) et (1 ; 3)

3. Coefficient directeur

Coefficient directeur : Le coefficient directeur a mesure l'inclinaison de la droite. Si on connaît deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) de la droite :

[formule]

Interprétation :

  • Si a > 0 : la droite monte → f est croissante

Si a < 0 : la droite descend → f est décroissante

Si a = 0 : la droite est horizontale → f est constante

Plus |a| est grand, plus la droite est pentue

Exemple : Soit la droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9).

[formule]

Le coefficient directeur est 2.

4. Déterminer l'expression d'une fonction affine

À partir de deux points :

  1. Calculer a = y_B - y_A{x_B - x_A}

  2. Utiliser un des points pour trouver b : b = y_A - a x_A

Exemple : Trouver f affine passant par A(2 ; 5) et B(6 ; 13).

Étape 1 : a = 13 - 5{6 - 2} = 8{4} = 2

Étape 2 : b = 5 - 2 2 = 1

Donc f(x) = 2x + 1.

Vérification : f(6) = 12 + 1 = 13 ✅

À partir du coefficient directeur et d'un point : Si on connaît a et un point (x_0 ; y_0) :

[formule]

5. Signe d'une fonction affine

Signe de ax + b : L'expression ax + b s'annule en x = -b{a} (pour a 0).

Si a > 0 : négatif puis positif

Si a < 0 : positif puis négatif

Exemple : Signe de 2x - 6 :

  • S'annule en x = 3
  • a = 2 > 0 : négatif pour x < 3, positif pour x > 3

6. Intersection de deux droites

Méthode : Pour trouver l'intersection des droites y = a_1 x + b_1 et y = a_2 x + b_2, on résout :

[formule]

Exemple : Intersection de y = 2x + 1 et y = -x + 7 :

[formule]

Puis y = 2(2) + 1 = 5.

Le point d'intersection est (2 ; 5).

À retenir

Résumé :

  1. f(x) = ax + b → droite de pente a passant par (0 ; b)

  2. a = y_B - y_A{x_B - x_A} (coefficient directeur entre deux points)

  3. a > 0 → croissante, a < 0 → décroissante

  4. ax + b = 0 x = -b{a}