Équation y' = ay + b avec second membre constant
1. Forme générale et solution
Équation y' = ay + b : On considère une équation différentielle de la forme :
[formule]
où a 0 et b sont deux constantes réelles.
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.
Solutions de y' = ay + b : Soit a 0 et b R. Les solutions sur R de l'équation y' = ay + b sont exactement les fonctions :
[formule]
La constante -b{a} est appelée solution particulière constante : c'est la seule fonction constante qui vérifie l'équation.
À retenir absolument : La forme des solutions est :
[formule]
Toute solution de y' = ay + b = (solution générale de y' = ay) + (UNE solution particulière). Ici la solution particulière la plus simple est la fonction constante y_p = -b{a}.
2. Démonstration de la solution particulière constante
Vérification de la solution constante : On cherche une fonction constante y(x) = k qui vérifie y' = ay + b.
Si y(x) = k alors y'(x) = 0. L'équation devient :
[formule]
Donc la fonction y_p(x) = -b{a} est une solution (la seule solution constante).
Démonstration : pourquoi y = C e^{ax} - b{a} marche : On pose z(x) = y(x) - (-b{a}) = y(x) + b{a} (on « retire » la solution particulière).
Alors z' = y' et l'équation y' = ay + b devient :
[formule]
Donc z vérifie z' = az, donc z(x) = C,e^{ax}.
D'où y(x) = z(x) - b{a} = C,e^{ax} - b{a}. ✓
3. Exemples détaillés
Exemple 1 — Résoudre y' = 2y + 6 : On identifie a = 2 et b = 6, donc -b{a} = -6{2} = -3.
Les solutions sont :
[formule]
Exemple 2 — Résoudre y' = -4y + 12 : a = -4, b = 12, donc -b{a} = -12{-4} = 3.
Les solutions sont :
[formule]
Remarquer que y(x) 3 quand x + (la solution particulière 3 est l'asymptote horizontale).
Exemple 3 — Résoudre 3y' + 6y = 9 : On commence par isoler y' :
[formule]
Avec a = -2 et b = 3 : -b{a} = -3{-2} = 3{2}.
Les solutions sont :
[formule]
Erreur classique : Confondre le signe de -b{a} ! Bien faire le calcul avec les signes : si a = -2 et b = 3, alors -b{a} = -3{-2} = +3{2}.
4. Solution avec condition initiale
Méthode :
- Isoler y' pour identifier a et b.
- Écrire la forme générale y(x) = C,e^{ax} - b{a}.
- Appliquer la condition initiale y(x_0) = y_0 pour trouver C.
- Conclure.
Exemple — Solution de y' = -y + 4 telle que y(0) = 10 : Étape 1 : équation déjà sous la forme, a = -1, b = 4, donc -b{a} = 4.
Étape 2 : forme générale y(x) = C,e^{-x} + 4.
Étape 3 : condition y(0) = 10 : [formule]
Étape 4 : solution unique : y(x) = 6,e^{-x + 4}.
Vérification : y(0) = 6 + 4 = 10 ✓ et y'(x) = -6e^{-x} = -(y(x) - 4) = -y(x) + 4 ✓.
Limite en + : Si a < 0 : _{x +} C,e^{ax} = 0, donc _{x +} y(x) = -b{a} : la solution tend vers la solution particulière constante.
Si a > 0 : C,e^{ax} explose en + (sauf si C = 0), donc en général |y(x)| +.
5. Application : refroidissement de Newton
Loi de refroidissement de Newton : Un corps de température T(t) est plongé dans un milieu à température constante T_{amb}. La loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température :
[formule]
avec k > 0. Cette équation se réécrit :
[formule]
C'est bien la forme y' = ay + b avec a = -k et b = k,T_{amb}.
Solution générale : T(t) = C,e^{-kt} + T_{amb}.
Si T(0) = T_0 (température initiale) : C = T_0 - T_{amb}, donc :
[formule]
Lecture physique : T(t) T_{amb} quand t + (le corps atteint la température ambiante), et la décroissance est plus rapide quand k est grand.
Application numérique — Café qui refroidit : Un café à T_0 = 90°C est posé dans une pièce à T_{amb} = 20°C. La constante k = 0{,}05 min^{-1}.
[formule]
À t = 10 min : T(10) = 20 + 70,e^{-0{,}5} 20 + 70 0{,}607 62{,}5°C.
À t = 30 min : T(30) = 20 + 70,e^{-1{,}5} 20 + 70 0{,}223 35{,}6°C.
À retenir
Résumé :
Solutions de y' = ay + b (a 0) : [formule]
La solution particulière constante y_p = -b{a} est la seule solution constante.
Toujours isoler y' avant d'identifier a et b.
Une condition initiale y(x_0) = y_0 détermine C de manière unique.
Si a < 0 : y(x) -b{a} quand x + (asymptote horizontale).
Application : refroidissement de Newton T'(t) = -k(T - T_{amb}).