Équations différentielles : notion et équation y' = ay
1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Équation différentielle : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c'est trouver toutes les fonctions y dérivables sur I qui satisfont l'équation pour tout x I.
Exemples d'équations différentielles :
- y' = 3y : l'inconnue y est une fonction, et on cherche les fonctions dont la dérivée vaut le triple.
- y' = 2y + 5 : équation différentielle dite « avec second membre ».
- y'' + y = 0 : équation du second ordre (hors programme Tle Spé).
En Terminale Spé, on étudie uniquement les équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b où a et b sont des constantes réelles (a 0).
Notation : On écrit indifféremment y ou y(x) ou f(x) : ce sont des fonctions de la variable x (souvent x représente le temps t en physique). La dérivée s'écrit y', y'(x) ou f'(x).
2. L'équation y' = ay
Solutions de l'équation y' = ay : Soit a un réel non nul. Les solutions sur R de l'équation différentielle :
[formule]
sont exactement les fonctions de la forme :
[formule]
Important : il y a une infinité de solutions : La constante C peut prendre n'importe quelle valeur réelle (C = 0 donne la solution nulle y = 0). On obtient donc une famille infinie de solutions, paramétrée par C.
Pour avoir une seule solution, il faut une condition initiale : une valeur y(x_0) = y_0 donnée (voir §4).
Démonstration partielle : ces fonctions sont bien solutions : Soit y(x) = C,e^{ax}. Alors :
[formule]
Donc y vérifie bien y' = ay. ✓
(La réciproque — toutes les solutions sont de cette forme — est admise en Tle Spé.)
3. Premiers exemples de résolution
Exemple 1 — Résoudre y' = 3y : Avec a = 3, les solutions sont les fonctions :
[formule]
Exemple 2 — Résoudre y' = -2y : Avec a = -2, les solutions sont :
[formule]
⚠ Attention au signe : un a négatif donne une exponentielle décroissante (y 0 quand x +). C'est typique de la décroissance radioactive ou du refroidissement.
Exemple 3 — Résoudre 2y' + 5y = 0 : On commence par isoler y' :
[formule]
Avec a = -5{2}, les solutions sont :
[formule]
Erreur classique : Ne pas oublier d'isoler y' avant d'appliquer la formule. Tant que l'équation n'est pas mise sous la forme y' = ay, on ne peut pas lire le coefficient a.
4. Solution avec condition initiale
Unicité de la solution avec condition initiale : Soit a 0, x_0 R et y_0 R. L'équation y' = ay admet une unique solution vérifiant la condition initiale y(x_0) = y_0 :
[formule]
(forme générale, à savoir retrouver — pas à apprendre brutalement).
Méthode : trouver la solution qui passe par un point :
- Écrire la forme générale y(x) = C,e^{ax}.
- Appliquer la condition initiale y(x_0) = y_0 pour déterminer C.
- Conclure en remplaçant C dans l'expression.
Exemple — Solution de y' = 3y telle que y(0) = 5 : Étape 1 : Forme générale y(x) = C,e^{3x}.
Étape 2 : Condition y(0) = 5 : [formule]
Étape 3 : La solution unique est : [formule]
Exemple — Solution de y' = -0{,}1y telle que y(0) = 1000 : Forme générale : y(x) = C,e^{-0{,}1,x}.
Condition initiale : y(0) = C = 1000.
Solution unique : y(x) = 1000,e^{-0{,1,x}}.
C'est par exemple un modèle de décroissance radioactive : 1000 noyaux initiaux, perte de 10% par unité de temps (approximativement).
5. Premier exemple d'application : décroissance radioactive
Désintégration radioactive : Le nombre de noyaux radioactifs N(t) dans un échantillon à l'instant t vérifie :
[formule]
où > 0 est la constante de désintégration (en s^{-1}).
Si l'échantillon contient N_0 noyaux à t = 0 :
[formule]
C'est la loi de décroissance exponentielle.
La demi-vie T vérifie N(T) = N_0{2}, soit e^{- T} = 1{2}, donc :
[formule]
À retenir
Résumé :
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir ses dérivées.
Les solutions de y' = ay (avec a 0) sont toutes les fonctions y(x) = C,e^{ax}, C R.
Toujours isoler y' avant d'identifier le coefficient a.
Une condition initiale y(x_0) = y_0 détermine la valeur de C de manière unique.
Application physique : la décroissance radioactive et le refroidissement de Newton sont modélisés par y' = ay avec a < 0.