Résolution de systèmes linéaires
Introduction
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations où chaque équation est linéaire par rapport aux variables. La résolution de tels systèmes est fondamentale en mathématiques et trouve de nombreuses applications en physique, économie, informatique et ingénierie.
Système linéaire : Un système linéaire de m équations à n inconnues x_1, x_2, , x_n est de la forme :
[formule]
où les a_{i,j} et b_i sont des nombres réels.
Exemple : Le système suivant est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :
[formule]
1. Formulation matricielle
Les systèmes linéaires peuvent être écrits de manière compacte sous forme matricielle.
Formulation matricielle : Tout système linéaire peut s'écrire sous la forme :
[formule]
où :
- A est la matrice des coefficients de taille m n
- X est le vecteur colonne des inconnues : X = pmatrix x_1 x_2 x_n pmatrix
- B est le vecteur colonne des seconds membres : B = pmatrix b_1 b_2 b_m pmatrix
Exemple : Le système cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases s'écrit :
[formule]
On a donc A = pmatrix 2 & 3 1 & -1 pmatrix, X = pmatrix x y pmatrix et B = pmatrix 7 1 pmatrix.
2. Résolution par la matrice inverse
C'est la méthode du programme, et la seule dont on ait besoin : si la matrice du système est inversible, une seule multiplication donne la solution.
Résolution matricielle : Si A est inversible, le système AX = B admet une solution unique :
[formule]
Multiplier à GAUCHE : De AX = B, on multiplie les deux membres à gauche : A^{-1}(AX) = A^{-1}B, d'où X = A^{-1}B.
Multiplier à droite donnerait AXA^{-1}, qui ne simplifie rien — le produit de matrices n'est pas commutatif.
Exemple : [formule]
La calculatrice donne A^{-1} = pmatrix 1&1&-1 1&-2&1 -1&1&0 pmatrix, et l'on contrôle que A A^{-1} = I_3.
Alors X = A^{-1}B :
[formule]
Vérification dans les TROIS équations : 1+2+3 = 6 ✓, 1+2+6 = 9 ✓, 1+4+9 = 14 ✓
3. Suites de matrices colonnes
Deux suites qui se répondent l'une l'autre ne s'étudient pas séparément. Les empiler dans une colonne transforme le système en une seule relation.
Suite de matrices colonnes : [formule]
C'est l'analogue matriciel d'une suite géométrique — et l'on a de même U_n = A^{,n},U_0.
Écrire la matrice : La PREMIÈRE équation donne la PREMIÈRE ligne de A, la seconde la deuxième.
[formule]
Exemple : Pour x_{n+1} = 2x_n + y_n et y_{n+1} = x_n + 2y_n, avec U_0 = pmatrix 1 0 pmatrix :
[formule]
Trouver l'expression explicite sans calculer A^{,n} : Quand A = pmatrix a & b b & a pmatrix est symétrique, il existe un raccourci : on additionne puis on soustrait les deux relations.
La somme s_n = x_n + y_n est géométrique de raison a+b, et la différence d_n = x_n - y_n de raison a-b. On revient ensuite à x_n et y_n par demi-somme et demi-différence.
Sur l'exemple précédent : s_{n+1} = 3 s_n avec s_0 = 1, donc s_n = 3^{,n}.
d_{n+1} = d_n avec d_0 = 1, donc d_n = 1.
D'où x_n = 3^{,n+1}{2} et y_n = 3^{,n-1}{2}. Pour n = 3 : 14 et 13 ✓
4. Suites avec second membre et état stable
Lorsqu'un apport extérieur s'ajoute à chaque étape, la relation devient affine — et la suite ne tend plus vers zéro ni vers l'infini, mais vers un état d'équilibre.
Suite affine de matrices colonnes : [formule]
État stable : L'état stable U est celui qui, une fois atteint, ne bouge plus :
[formule]
Il existe et il est unique dès que I - M est inversible.
Exemple : Deux entrepôts. A garde 60,% de son stock et reçoit 20,% de celui de B ; B garde 70,% du sien et reçoit 10,% de celui de A. On livre 40 unités en A et 60 en B chaque mois.
[formule]
En résolvant (I-M)U = L on obtient U = pmatrix 240 280 pmatrix.
Contrôle : 0{,}6(240) + 0{,}2(280) + 40 = 144 + 56 + 40 = 240 ✓
L'état stable est une LIMITE, pas une valeur atteinte : Partant de (0,;,0), on obtient (40,;,60), puis (76,;,106), et après vingt mois (236{,}9,;,276{,}9) — très proche, jamais exactement égal.
5. Cas particuliers
Système impossible
Système impossible : Un système linéaire est impossible (ou incompatible) s'il n'admet aucune solution.
Exemple : Le système cases x + y = 1 x + y = 2 cases est impossible car on ne peut pas avoir simultanément x + y = 1 et x + y = 2.
Système indéterminé
Système indéterminé : Un système linéaire est indéterminé s'il admet une infinité de solutions.
Exemple : Le système cases x + y = 1 2x + 2y = 2 cases est équivalent à une seule équation x + y = 1.
Les solutions sont de la forme (t, 1-t) où t R est un paramètre libre.
Reconnaître le cas sans calculer
Deux lignes proportionnelles suffisent à savoir que la matrice n'est pas inversible — et le second membre dit alors lequel des deux cas s'applique.
Le réflexe : Si une équation est multiple d'une autre :
- les seconds membres suivent la même proportion l'équation est redondante, le système est indéterminé ;
- ils ne la suivent pas le système est impossible.
Exemple : cases x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6 cases : la seconde ligne est le double de la première, et 6 = 2 3. Elle n'apporte rien.
cases x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 7 cases : cette fois 7 2 3, et l'on demanderait x+y+z = 3 ET x+y+z = 3{,}5. Impossible.
6. Applications
Résolution de problèmes géométriques
Exemple : Trouvons l'intersection de deux droites dans le plan :
- Droite D_1 : 2x + 3y = 7
- Droite D_2 : x - y = 1
Cela revient à résoudre le système cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases.
On trouve (x, y) = (2, 1), donc les droites se coupent au point (2, 1).
Modélisation économique
Exemple : Un magasin vend des pommes et des oranges. Le premier jour, 3 kg de pommes et 2 kg d'oranges sont vendus pour 12€. Le deuxième jour, 2 kg de pommes et 4 kg d'oranges sont vendus pour 16€.
Trouvons le prix au kilogramme de chaque fruit.
Soit p le prix d'un kg de pommes et o le prix d'un kg d'oranges.
[formule]
En résolvant, on trouve p = 2€ et o = 3€.
Circuits électriques
Exemple : Dans un circuit électrique, les lois de Kirchhoff donnent des systèmes d'équations linéaires pour déterminer les courants dans chaque branche.
À retenir
Résumé des méthodes :
Formulation matricielle : tout système s'écrit AX = B
Résolution : si (A) 0, la solution est unique et vaut X = A^{-1}B
Suites de matrices colonnes : U_{n+1} = A,U_n, et U_n = A^{,n}U_0
Suites affines : U_{n+1} = M,U_n + L, d'état stable donné par (I - M)U = L
Matrice non inversible : zéro ou une infinité de solutions, selon que les seconds membres suivent ou non la proportion des lignes
Stratégie de résolution :
Regarder les lignes avant de calculer : deux lignes proportionnelles, et la matrice n'est pas inversible
Sinon, calculer (A) : non nul, on applique X = A^{-1}B et l'on contrôle dans les équations de départ
Toujours vérifier l'inverse par A A^{-1} = I avant de s'en servir
Pièges à éviter :
- Ne pas confondre A^{-1}B et BA^{-1} : l'ordre est crucial
- Vérifier que les opérations élémentaires préservent l'ensemble des solutions
- Attention aux systèmes impossibles ou indéterminés
La résolution de systèmes linéaires est une compétence fondamentale qui trouve des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.