Résolution de systèmes linéaires

Introduction

Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations où chaque équation est linéaire par rapport aux variables. La résolution de tels systèmes est fondamentale en mathématiques et trouve de nombreuses applications en physique, économie, informatique et ingénierie.

Système linéaire : Un système linéaire de m équations à n inconnues x_1, x_2, , x_n est de la forme :

[formule]

où les a_{i,j} et b_i sont des nombres réels.

Exemple : Le système suivant est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :

[formule]

1. Formulation matricielle

Les systèmes linéaires peuvent être écrits de manière compacte sous forme matricielle.

Formulation matricielle : Tout système linéaire peut s'écrire sous la forme :

[formule]

où :

• A est la matrice des coefficients de taille m n
• X est le vecteur colonne des inconnues : X = pmatrix x_1 x_2 x_n pmatrix
• B est le vecteur colonne des seconds membres : B = pmatrix b_1 b_2 b_m pmatrix

Exemple : Le système cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases s'écrit :

[formule]

On a donc A = pmatrix 2 & 3 1 & -1 pmatrix, X = pmatrix x y pmatrix et B = pmatrix 7 1 pmatrix.

2. Système de Cramer

Les systèmes de Cramer sont des systèmes carrés (même nombre d'équations et d'inconnues) avec une solution unique.

Système de Cramer : Un système linéaire AX = B où A est une matrice carrée d'ordre n est un système de Cramer si (A) 0.

Dans ce cas, le système admet une unique solution donnée par :

[formule]

Formules de Cramer : Pour un système de Cramer AX = B avec A d'ordre n, la solution unique est donnée par :

[formule]

où A_i est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur B.

Exemple : Résolvons le système cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases.

On a A = pmatrix 2 & 3 1 & -1 pmatrix et (A) = 2 (-1) - 3 1 = -2 - 3 = -5 0.

Donc c'est un système de Cramer.

• A_1 = pmatrix 7 & 3 1 & -1 pmatrix donc (A_1) = 7 (-1) - 3 1 = -10
• A_2 = pmatrix 2 & 7 1 & 1 pmatrix donc (A_2) = 2 1 - 7 1 = -5

Par conséquent :

• x = (A_1){(A)} = -10{-5} = 2
• y = (A_2){(A)} = -5{-5} = 1

La solution est (x, y) = (2, 1).

Limitation : Les formules de Cramer sont élégantes mais peu pratiques pour les systèmes de grande taille car elles nécessitent le calcul de nombreux déterminants. On leur préfère généralement la méthode de Gauss.

3. Méthode de Gauss (élimination)

La méthode de Gauss est un algorithme systématique pour résoudre les systèmes linéaires en transformant le système en un système équivalent plus simple.

Méthode de Gauss : La méthode consiste à transformer le système AX = B en un système triangulaire supérieur (ou échelonné) en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes :

1. Échanger deux lignes : L_i L_j
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul : L_i L_i ( 0)
3. Ajouter à une ligne un multiple d'une autre : L_i L_i + L_j

Ces opérations préservent l'ensemble des solutions du système.

Exemple détaillé : Résolvons le système :

[formule]

Étape 1 : Éliminer x dans les équations 2 et 3.

L_2 L_2 - 2L_1 et L_3 L_3 - L_1 :

[formule]

Étape 2 : Éliminer y dans l'équation 3.

L_3 L_3 - L_2 :

[formule]

Étape 3 : Résolution par substitution remontante.

• De 4z = 8, on obtient z = 2
• De -3y - 3z = -11, on obtient -3y = -11 + 6 = -5, donc y = 5{3}
• De x + 2y + z = 6, on obtient x = 6 - 2 5{3} - 2 = 6 - 10{3} - 2 = 2{3}

La solution est (x, y, z) = (2{3}, 5{3}, 2).

4. Matrice augmentée

Pour faciliter les calculs, on utilise la matrice augmentée du système.

Matrice augmentée : La matrice augmentée du système AX = B est la matrice [A | B] obtenue en ajoutant la colonne B à droite de A :

[formule]

Méthode de Gauss sur la matrice augmentée : On applique les opérations élémentaires directement sur la matrice augmentée [A | B] pour obtenir une forme échelonnée, puis on résout par substitution remontante.

Exemple : Pour le système précédent, la matrice augmentée est :

[formule]

Après les opérations élémentaires, on obtient :

[formule]

Ce qui correspond au système triangulaire résolu précédemment.

5. Cas particuliers

Système impossible

Système impossible : Un système linéaire est impossible (ou incompatible) s'il n'admet aucune solution.

Exemple : Le système cases x + y = 1 x + y = 2 cases est impossible car on ne peut pas avoir simultanément x + y = 1 et x + y = 2.

Système indéterminé

Système indéterminé : Un système linéaire est indéterminé s'il admet une infinité de solutions.

Exemple : Le système cases x + y = 1 2x + 2y = 2 cases est équivalent à une seule équation x + y = 1.

Les solutions sont de la forme (t, 1-t) où t R est un paramètre libre.

Rang d'une matrice

Rang d'une matrice : Le rang d'une matrice A, noté rg(A), est le nombre maximum de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes.

Pour un système AX = B, on définit :

• Le rang du système : r = rg(A)
• Le rang de la matrice augmentée : r' = rg([A | B])

Théorème de Rouché-Fontené : Un système linéaire AX = B admet des solutions si et seulement si :

[formule]

De plus :

• Si r = r' = n (nombre d'inconnues), le système admet une unique solution
• Si r = r' < n, le système admet une infinité de solutions (indéterminé)
• Si r < r', le système est impossible

6. Applications

Résolution de problèmes géométriques

Exemple : Trouvons l'intersection de deux droites dans le plan :

• Droite D_1 : 2x + 3y = 7
• Droite D_2 : x - y = 1

Cela revient à résoudre le système cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases.

On trouve (x, y) = (2, 1), donc les droites se coupent au point (2, 1).

Modélisation économique

Exemple : Un magasin vend des pommes et des oranges. Le premier jour, 3 kg de pommes et 2 kg d'oranges sont vendus pour 12€. Le deuxième jour, 2 kg de pommes et 4 kg d'oranges sont vendus pour 16€.

Trouvons le prix au kilogramme de chaque fruit.

Soit p le prix d'un kg de pommes et o le prix d'un kg d'oranges.

[formule]

En résolvant, on trouve p = 2€ et o = 3€.

Circuits électriques

Exemple : Dans un circuit électrique, les lois de Kirchhoff donnent des systèmes d'équations linéaires pour déterminer les courants dans chaque branche.

7. Méthode de Gauss-Jordan

La méthode de Gauss-Jordan est une variante qui transforme directement la matrice en matrice identité.

Méthode de Gauss-Jordan : On transforme la matrice augmentée [A | B] en [I_n | X] où X est directement la solution.

Cette méthode est particulièrement utile pour calculer l'inverse d'une matrice.

Exemple : Pour résoudre cases 2x + 3y = 7 x - y = 1 cases, on part de :

[formule]

Après les opérations élémentaires, on obtient :

[formule]

Donc directement x = 2 et y = 1.

À retenir

Résumé des méthodes :

1. Formulation matricielle : AX = B

2. Système de Cramer : Si (A) 0, solution unique X = A^{-1}B ou par formules de Cramer

3. Méthode de Gauss : Transformation en système triangulaire par opérations élémentaires

4. Méthode de Gauss-Jordan : Transformation directe en [I_n | X]

5. Théorème de Rouché-Fontené : rg(A) = rg([A | B]) pour l'existence de solutions

Stratégie de résolution :

1. Vérifier si c'est un système de Cramer : Si A est carrée et (A) 0, utiliser l'inverse ou Cramer
2. Sinon, utiliser Gauss : Plus général et efficace pour les grands systèmes
3. Vérifier la compatibilité : Utiliser le rang pour déterminer si le système admet des solutions

Pièges à éviter :

• Ne pas confondre A^{-1}B et BA^{-1} : l'ordre est crucial
• Vérifier que les opérations élémentaires préservent l'ensemble des solutions
• Attention aux systèmes impossibles ou indéterminés

La résolution de systèmes linéaires est une compétence fondamentale qui trouve des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.