Déterminant et inverse d'une matrice

Matrices et applications — Terminale Maths Expertes

Déterminant et inverse d'une matrice

Introduction

Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée qui permet de caractériser de nombreuses propriétés importantes, notamment l'inversibilité. L'inverse d'une matrice, lorsqu'il existe, est un outil puissant pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.

1. Déterminant d'une matrice d'ordre 2

Déterminant d'ordre 2 : Soit A = pmatrix a & b c & d pmatrix une matrice carrée d'ordre 2.

Le déterminant de A, noté (A) ou |A|, est le nombre :

[formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 2 & 3 1 & 4 pmatrix.

[formule]

Méthode de calcul : Pour une matrice pmatrix a & b c & d pmatrix, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale moins le produit des éléments de l'autre diagonale :

[formule]

2. Matrices d'ordre 3 : le déterminant à la calculatrice

Au-delà de l'ordre 2, on ne calcule plus le déterminant à la main : la calculatrice le donne, et c'est ce que le programme prévoit. Ce qui reste à savoir, c'est ce qu'on en fait et comment le contrôler.

Ce que le déterminant décide : (A) 0 A est inversible le système AX = B a une solution unique, quel que soit B.

(A) = 0 A n'est pas inversible : le système a alors zéro ou une infinité de solutions.

Exemple : Soit A = pmatrix 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 pmatrix.

La calculatrice donne (A) = -1. Comme -1 0, la matrice est inversible et tout système de matrice A aura une solution unique.

Un déterminant nul se repère souvent à l'œil : Deux lignes proportionnelles, une ligne nulle, ou une ligne égale à la somme de deux autres : dans ces trois cas (A) = 0, sans aucun calcul.

C'est le premier réflexe à avoir devant une matrice — il évite de sortir la calculatrice pour rien.

3. Inverse d'une matrice d'ordre 3

La calculatrice donne aussi l'inverse. Le travail mathématique consiste à vérifier ce qu'elle rend, puis à s'en servir.

La méthode complète :

  1. Vérifier que (A) 0 — sinon l'inverse n'existe pas.
  2. Lire A^{-1} à la calculatrice.
  3. Contrôler en calculant A A^{-1} : on doit obtenir I_3.

Exemple : Pour la matrice A ci-dessus, la calculatrice rend

[formule]

Contrôle sur la première ligne : 1 1 + 1 1 + 1 (-1) = 1, 1 1 + 1 (-2) + 1 1 = 0, et 1 (-1) + 1 1 + 1 0 = 0.

On obtient bien (1, 0, 0), la première ligne de I_3.

Ne jamais employer un inverse sans l'avoir contrôlé : Une erreur de saisie dans la calculatrice donne un inverse faux, et tout ce qui suit devient faux sans qu'aucun signe ne le montre : le calcul aboutit, il rend simplement la mauvaise réponse.

Le produit A A^{-1} coûte quelques secondes et ferme cette porte.

Les coefficients de l'inverse ne sont pas forcément entiers : Ils le sont ici parce que (A) = -1. En général, A^{-1} contient des fractions de dénominateur (A) — c'est visible sur la formule de l'ordre 2 du § 6.

4. Propriétés du déterminant

Propriétés fondamentales : Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n, et un scalaire.

  1. Déterminant de la transposée : (A^T) = (A)

  2. Multiplication par un scalaire : ( A) = ^n (A)

  3. Produit : (AB) = (A) (B)

  4. Déterminant de l'inverse : Si A est inversible, (A^{-1}) = 1{(A)}

  5. Échange de lignes : Si on échange deux lignes, le déterminant change de signe

  6. Ligne multiple : Si une ligne est combinaison linéaire d'autres lignes, (A) = 0

  7. Déterminant de la matrice identité : (I_n) = 1

Attention : Le déterminant n'est pas linéaire : (A + B) (A) + (B) en général !

5. Matrice inversible

Matrice inversible : Une matrice carrée A d'ordre n est inversible (ou régulière) s'il existe une matrice B telle que :

[formule]

Cette matrice B est unique et est appelée l'inverse de A, notée A^{-1}.

Caractérisation par le déterminant : Une matrice carrée A est inversible si et seulement si (A) 0.

Exemple : La matrice A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix a pour déterminant :

[formule]

Donc A est inversible.

6. Calcul de l'inverse d'une matrice d'ordre 2

Formule de l'inverse d'ordre 2 : Soit A = pmatrix a & b c & d pmatrix une matrice inversible (donc (A) = ad - bc 0).

L'inverse de A est :

[formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 2 & 1 3 & 4 pmatrix.

On a (A) = 2 4 - 1 3 = 8 - 3 = 5.

Donc :

[formule]

Vérification :

[formule]

7. Résoudre une équation matricielle

L'inverse sert avant tout à isoler une matrice inconnue, exactement comme on divise pour isoler un nombre — à ceci près que le côté compte.

Les deux cas : AX = B : on multiplie à gauche par A^{-1}, d'où X = A^{-1}B.

XA = B : on multiplie à droite par A^{-1}, d'où X = BA^{-1}.

Le produit de matrices n'est pas commutatif : A^{-1}B et BA^{-1} ne sont pas la même matrice en général.

Multiplier du mauvais côté ne donne donc pas seulement un résultat faux : le calcul peut même être impossible, les formats ne s'emboîtant plus.

Exemple : Résoudre AX = B avec A = pmatrix 2 & 1 3 & 2 pmatrix et B = pmatrix 1 4 pmatrix.

Ici (A) = 2 2 - 1 3 = 1 0, donc A^{-1} = pmatrix 2 & -1 -3 & 2 pmatrix.

D'où X = A^{-1}B = pmatrix 2 1 - 1 4 -3 1 + 2 4 pmatrix = pmatrix -2 5 pmatrix.

Contrôle : 2(-2) + 1(5) = 1 et 3(-2) + 2(5) = 4 ✓

8. Propriétés de l'inverse

Propriétés de l'inverse : Soient A et B deux matrices inversibles d'ordre n, et un scalaire non nul.

  1. Unicité : L'inverse est unique
  2. Inverse de l'inverse : (A^{-1})^{-1} = A
  3. Inverse du produit : (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} (attention à l'ordre !)
  4. Inverse de la transposée : (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  5. Inverse d'un scalaire : ( A)^{-1} = 1{} A^{-1}
  6. Déterminant de l'inverse : (A^{-1}) = 1{(A)}

9. Matrice singulière

Matrice singulière : Une matrice carrée A est singulière (ou non inversible) si (A) = 0.

Dans ce cas, il n'existe pas de matrice A^{-1}.

Exemple : La matrice A = pmatrix 1 & 2 2 & 4 pmatrix a pour déterminant :

[formule]

Donc A est singulière et n'est pas inversible.

À retenir

Résumé :

  1. Déterminant d'ordre 2 : (A) = ad - bc pour A = pmatrix a & b c & d pmatrix

  2. Déterminant d'ordre 3 : lu à la calculatrice ; il décide de l'inversibilité, rien de plus

  3. Inversibilité : A est inversible (A) 0

  4. Inverse d'ordre 2 : A^{-1} = 1{(A)} pmatrix d & -b -c & a pmatrix

  5. Ordre 3 : inverse lu à la calculatrice, puis CONTRÔLÉ par A A^{-1} = I_3

  6. Propriété importante : (AB) = (A) (B)

Astuce : Pour vérifier qu'une matrice B est bien l'inverse de A, il suffit de vérifier que AB = I_n (ou BA = I_n). Si c'est le cas, alors B = A^{-1}.

Le déterminant et l'inverse sont des outils essentiels pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, comme nous le verrons dans la leçon suivante.