Déterminant et inverse d'une matrice

Matrices et applications — Terminale Maths Expertes

Déterminant et inverse d'une matrice

Introduction

Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée qui permet de caractériser de nombreuses propriétés importantes, notamment l'inversibilité. L'inverse d'une matrice, lorsqu'il existe, est un outil puissant pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.

1. Déterminant d'une matrice d'ordre 2

Déterminant d'ordre 2 : Soit A = pmatrix a & b c & d pmatrix une matrice carrée d'ordre 2.

Le déterminant de A, noté (A) ou |A|, est le nombre :

[formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 2 & 3 1 & 4 pmatrix.

[formule]

Méthode de calcul : Pour une matrice pmatrix a & b c & d pmatrix, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale moins le produit des éléments de l'autre diagonale :

[formule]

2. Déterminant d'une matrice d'ordre 3

Déterminant d'ordre 3 - Règle de Sarrus : Soit A = pmatrix a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} pmatrix.

Le déterminant de A est :

[formule]

Méthode de Sarrus : Pour calculer le déterminant d'ordre 3 :

  1. Écrire les deux premières colonnes à droite de la matrice
  2. Additionner les produits des diagonales descendantes (de gauche à droite)
  3. Soustraire les produits des diagonales montantes (de droite à gauche)

[formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 pmatrix.

En appliquant la règle de Sarrus :

[formule]

[formule]

3. Développement par cofacteurs (ordre n)

Pour les matrices d'ordre supérieur à 3, on utilise le développement par cofacteurs.

Mineur et cofacteur : Soit A une matrice carrée d'ordre n.

  • Le mineur M_{i,j} est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j de A.
  • Le cofacteur C_{i,j} est défini par : C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}

Développement par cofacteurs : Pour toute matrice carrée A d'ordre n, on peut développer le déterminant selon une ligne ou une colonne :

Développement selon la ligne i : [formule]

Développement selon la colonne j : [formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 2 & 1 & 0 1 & 3 & 2 0 & 1 & 1 pmatrix.

Développons selon la première ligne :

[formule]

où :

  • C_{1,1} = (-1)^{1+1} vmatrix 3 & 2 1 & 1 vmatrix = 1 (3 - 2) = 1
  • C_{1,2} = (-1)^{1+2} vmatrix 1 & 2 0 & 1 vmatrix = -1 (1 - 0) = -1

Donc : (A) = 2 1 + 1 (-1) + 0 = 2 - 1 = 1

4. Propriétés du déterminant

Propriétés fondamentales : Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n, et un scalaire.

  1. Déterminant de la transposée : (A^T) = (A)

  2. Multiplication par un scalaire : ( A) = ^n (A)

  3. Produit : (AB) = (A) (B)

  4. Déterminant de l'inverse : Si A est inversible, (A^{-1}) = 1{(A)}

  5. Échange de lignes : Si on échange deux lignes, le déterminant change de signe

  6. Ligne multiple : Si une ligne est combinaison linéaire d'autres lignes, (A) = 0

  7. Déterminant de la matrice identité : (I_n) = 1

Attention : Le déterminant n'est pas linéaire : (A + B) (A) + (B) en général !

5. Matrice inversible

Matrice inversible : Une matrice carrée A d'ordre n est inversible (ou régulière) s'il existe une matrice B telle que :

[formule]

Cette matrice B est unique et est appelée l'inverse de A, notée A^{-1}.

Caractérisation par le déterminant : Une matrice carrée A est inversible si et seulement si (A) 0.

Exemple : La matrice A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix a pour déterminant :

[formule]

Donc A est inversible.

6. Calcul de l'inverse d'une matrice d'ordre 2

Formule de l'inverse d'ordre 2 : Soit A = pmatrix a & b c & d pmatrix une matrice inversible (donc (A) = ad - bc 0).

L'inverse de A est :

[formule]

Exemple : Soit A = pmatrix 2 & 1 3 & 4 pmatrix.

On a (A) = 2 4 - 1 3 = 8 - 3 = 5.

Donc :

[formule]

Vérification :

[formule]

7. Calcul de l'inverse par la méthode de Gauss-Jordan

Pour les matrices d'ordre supérieur à 2, on utilise la méthode de Gauss-Jordan.

Méthode de Gauss-Jordan : Pour inverser une matrice A d'ordre n :

  1. Construire la matrice augmentée [A | I_n]
  2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer A en I_n
  3. Les mêmes opérations transforment I_n en A^{-1}

Les opérations élémentaires autorisées sont :

  • Échanger deux lignes
  • Multiplier une ligne par un scalaire non nul
  • Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne

Exemple : Soit A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix.

On forme [A | I_2] = pmatrix 1 & 2 & | & 1 & 0 3 & 4 & | & 0 & 1 pmatrix.

Étape 1 : L_2 L_2 - 3L_1

[formule]

Étape 2 : L_2 -1{2} L_2

[formule]

Étape 3 : L_1 L_1 - 2L_2

[formule]

Donc A^{-1} = pmatrix -2 & 1 3{2} & -1{2} pmatrix.

8. Propriétés de l'inverse

Propriétés de l'inverse : Soient A et B deux matrices inversibles d'ordre n, et un scalaire non nul.

  1. Unicité : L'inverse est unique
  2. Inverse de l'inverse : (A^{-1})^{-1} = A
  3. Inverse du produit : (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} (attention à l'ordre !)
  4. Inverse de la transposée : (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  5. Inverse d'un scalaire : ( A)^{-1} = 1{} A^{-1}
  6. Déterminant de l'inverse : (A^{-1}) = 1{(A)}

9. Matrice singulière

Matrice singulière : Une matrice carrée A est singulière (ou non inversible) si (A) = 0.

Dans ce cas, il n'existe pas de matrice A^{-1}.

Exemple : La matrice A = pmatrix 1 & 2 2 & 4 pmatrix a pour déterminant :

[formule]

Donc A est singulière et n'est pas inversible.

À retenir

Résumé :

  1. Déterminant d'ordre 2 : (A) = ad - bc pour A = pmatrix a & b c & d pmatrix

  2. Déterminant d'ordre 3 : Règle de Sarrus ou développement par cofacteurs

  3. Inversibilité : A est inversible (A) 0

  4. Inverse d'ordre 2 : A^{-1} = 1{(A)} pmatrix d & -b -c & a pmatrix

  5. Méthode générale : Gauss-Jordan sur la matrice augmentée [A | I_n]

  6. Propriété importante : (AB) = (A) (B)

Astuce : Pour vérifier qu'une matrice B est bien l'inverse de A, il suffit de vérifier que AB = I_n (ou BA = I_n). Si c'est le cas, alors B = A^{-1}.

Le déterminant et l'inverse sont des outils essentiels pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, comme nous le verrons dans la leçon suivante.