Définition et opérations sur les matrices

Introduction

Les matrices sont des objets mathématiques fondamentaux qui permettent de représenter et manipuler des données structurées. Elles jouent un rôle essentiel en algèbre linéaire, en informatique, en physique et dans de nombreux domaines appliqués.

Définition d'une matrice : Une matrice de taille n p (ou de format (n,p)) est un tableau rectangulaire de nombres réels disposés en n lignes et p colonnes.

On note généralement une matrice par une lettre majuscule : A, B, M, etc.

[formule]

L'élément a_{i,j} est situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j.

Exemple : La matrice A = pmatrix 2 & -1 & 3 0 & 5 & 1 pmatrix est une matrice de taille 2 3.

a_{1,2} = -1 (ligne 1, colonne 2)
a_{2,3} = 1 (ligne 2, colonne 3)

1. Types de matrices particulières

Matrice carrée

Matrice carrée : Une matrice est carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes : n = p.

Une matrice carrée de taille n est dite d'ordre n.

Exemples :

pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix est une matrice carrée d'ordre 2
pmatrix 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 pmatrix est une matrice carrée d'ordre 3

Matrice ligne et matrice colonne

Matrices ligne et colonne :

Une matrice ligne est une matrice à une seule ligne : taille 1 p
Une matrice colonne (ou vecteur colonne) est une matrice à une seule colonne : taille n 1

Matrice nulle

Matrice nulle : La matrice nulle de taille n p, notée O_{n,p} (ou simplement O), est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.

Matrice identité

Matrice identité : La matrice identité d'ordre n, notée I_n, est la matrice carrée d'ordre n telle que :

[formule]

Tous les éléments de la diagonale principale valent 1, tous les autres valent 0.

2. Égalité de deux matrices

Égalité de matrices : Deux matrices A et B sont égales si et seulement si :

Elles ont la même taille
Tous leurs coefficients correspondants sont égaux : a_{i,j} = b_{i,j} pour tout i et j

3. Addition de matrices

Addition de matrices : Soient A et B deux matrices de même taille n p.

La somme A + B est la matrice de taille n p dont le coefficient à la position (i,j) est a_{i,j} + b_{i,j}.

Exemple : [formule]

Propriétés de l'addition : Pour toutes matrices A, B, C de même taille :

Commutativité : A + B = B + A
Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)
Élément neutre : A + O = O + A = A (où O est la matrice nulle)
Opposée : Pour toute matrice A, il existe une unique matrice -A telle que A + (-A) = O

La matrice -A est obtenue en changeant le signe de tous les coefficients de A.

4. Multiplication par un scalaire

Multiplication par un scalaire : Soit A une matrice et un nombre réel (appelé scalaire).

Le produit A est la matrice obtenue en multipliant chaque coefficient de A par :

[formule]

Exemple : [formule]

Propriétés : Pour toutes matrices A, B de même taille et tous scalaires , :

(A + B) = A + B
( + )A = A + A
( )A = ( A)
1 A = A
(-1) A = -A

5. Produit de matrices

Produit de matrices : Soient A une matrice de taille n p et B une matrice de taille p m.

Le produit AB est la matrice de taille n m dont le coefficient à la position (i,j) est :

[formule]

Important : Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Exemple détaillé : Soient A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix et B = pmatrix 5 & 6 7 & 8 pmatrix.

[formule]

Attention : Le produit de matrices n'est pas commutatif en général !

Si A et B sont deux matrices carrées, on a généralement AB BA.

Par exemple, avec A = pmatrix 1 & 0 0 & 0 pmatrix et B = pmatrix 0 & 1 0 & 0 pmatrix :

AB = pmatrix 0 & 1 0 & 0 pmatrix
BA = pmatrix 0 & 0 0 & 0 pmatrix

Donc AB BA.

Propriétés du produit : Pour toutes matrices A, B, C de tailles compatibles :

Associativité : (AB)C = A(BC)
Distributivité à gauche : A(B + C) = AB + AC
Distributivité à droite : (A + B)C = AC + BC
Élément neutre : AI_n = A et I_m A = A (où I_n et I_m sont les matrices identité de tailles appropriées)
Multiplication par un scalaire : ( A)B = A( B) = (AB)

6. Puissance d'une matrice carrée

Puissance d'une matrice : Soit A une matrice carrée d'ordre n et k un entier naturel.

On définit la puissance k-ième de A par :

A^0 = I_n (matrice identité)
A^1 = A
A^k = A A A (k facteurs) pour k 2

Exemple : Soit A = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix.

A^2 = A A = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix = pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix
A^3 = A^2 A = pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix = pmatrix 1 & 3 0 & 1 pmatrix

On peut conjecturer que A^n = pmatrix 1 & n 0 & 1 pmatrix pour tout n N.

Propriétés des puissances : Pour toute matrice carrée A et tous entiers naturels k, :

A^k A^{} = A^{k+}
(A^k)^{} = A^{k}
(AB)^k A^k B^k en général (car le produit n'est pas commutatif)

7. Transposée d'une matrice

Transposée : Soit A une matrice de taille n p.

La transposée de A, notée A^T ou ^tA, est la matrice de taille p n obtenue en échangeant les lignes et les colonnes :

[formule]

Exemple : Si A = pmatrix 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 pmatrix, alors :

[formule]

Propriétés de la transposée : Pour toutes matrices A, B de tailles compatibles et tout scalaire :

(A^T)^T = A
(A + B)^T = A^T + B^T
( A)^T = A^T
(AB)^T = B^T A^T (attention à l'ordre !)

À retenir

Résumé des opérations :

Addition : (A + B){i,j} = a{i,j} + b_{i,j} (même taille requise)
Multiplication par scalaire : ( A){i,j} = a{i,j}
Produit : (AB){i,j} = {k=1}^{p} a{i,k} b{k,j} (nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B)
Puissance : A^k = A A A (k facteurs, A carrée)
Transposée : (A^T){j,i} = a{i,j}

Méthode pour calculer un produit : Pour calculer le coefficient (AB)_{i,j} :

Prendre la ligne i de A
Prendre la colonne j de B
Faire la somme des produits terme à terme : a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + + a_{i,p}b_{p,j}

Ces opérations fondamentales sur les matrices sont la base de l'algèbre linéaire et permettent de résoudre de nombreux problèmes mathématiques et appliqués.