Applications géométriques des nombres complexes

Nombres complexes — Terminale Maths Expertes

Applications géométriques des nombres complexes

1. Transformations du plan

1.1 Translation

Translation : La translation de vecteur u d'affixe b transforme le point M d'affixe z en le point M' d'affixe :

[formule]

où b est l'affixe du vecteur de translation.

Exemple : La translation de vecteur u(3, 2) (d'affixe 3 + 2i) transforme z en z' = z + 3 + 2i.

Le point d'affixe 1 + i est transformé en (1 + i) + (3 + 2i) = 4 + 3i.

1.2 Homothétie

Homothétie : L'homothétie de centre d'affixe et de rapport k R^* transforme le point M d'affixe z en le point M' d'affixe :

[formule]

soit : z' = kz + (1 - k)

Exemple : L'homothétie de centre O (affixe 0) et de rapport 2 transforme z en z' = 2z.

L'homothétie de centre le point d'affixe 1 + i et de rapport -1{2} transforme z en :

z' = -1{2}z + (1 + 1{2})(1 + i) = -1{2}z + 3{2}(1 + i)

1.3 Rotation

Rotation : La rotation de centre d'affixe et d'angle transforme le point M d'affixe z en le point M' d'affixe :

[formule]

soit : z' = e^{i}z + (1 - e^{i})

Exemple : La rotation de centre O et d'angle {2} transforme z en z' = iz (car e^{i{2}} = i).

La rotation de centre le point d'affixe 1 et d'angle transforme z en :

z' = e^{i}(z - 1) + 1 = -(z - 1) + 1 = 2 - z

1.4 Symétrie axiale

Symétrie par rapport à l'axe réel : La symétrie par rapport à l'axe réel transforme z en son conjugué :

[formule]

Symétrie par rapport à une droite passant par l'origine : La symétrie par rapport à la droite passant par O et faisant un angle avec l'axe réel transforme z en :

[formule]

2. Configurations géométriques

2.1 Alignement et parallélisme

Points alignés : Trois points A, B, C d'affixes respectives a, b, c sont alignés si et seulement si :

[formule]

ou encore : (c - a) = (b - a)

Droites parallèles : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si :

[formule]

ou encore : (b - a) = (d - c)

Exemple : Les points d'affixes 1 + i, 2 + 3i et 4 + 7i sont-ils alignés ?

(4 + 7i) - (1 + i){(2 + 3i) - (1 + i)} = 3 + 6i{1 + 2i} = (3 + 6i)(1 - 2i){(1 + 2i)(1 - 2i)} = 3 - 6i + 6i - 12i^2{1 + 4} = 15{5} = 3 R

Oui, les trois points sont alignés.

2.2 Orthogonalité

Droites perpendiculaires : Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si :

[formule]

ou encore : (b - a) = (d - c) + {2}

Exemple : Les droites passant par les points d'affixes 0, 1 + i et 0, 1 - i sont perpendiculaires car :

(1 - i) - 0{(1 + i) - 0} = 1 - i{1 + i} = (1 - i)^2{(1 + i)(1 - i)} = 1 - 2i + i^2{2} = -2i{2} = -i iR

2.3 Triangle équilatéral

Triangle équilatéral : Trois points A, B, C d'affixes a, b, c forment un triangle équilatéral direct si et seulement si :

[formule]

ou encore : (c - a)^2 + (b - a)^2 - (c - a)(b - a) = 0

Exemple : Les points d'affixes 0, 1 et 1{2} + i{3}{2} forment un triangle équilatéral car :

1{2} + i{3}{2} - 0 = e^{i{3}} = 1{2} + i{3}{2}

et 1 - 0 = 1, donc 1{2} + i{3}{2} = e^{i{3}} 1.

3. Cercles et équations

Équation d'un cercle : Le cercle de centre d'affixe et de rayon R > 0 a pour équation :

[formule]

ou encore : (z - )(z - ) = R^2

Équation d'une droite : La droite passant par les points A et B d'affixes a et b a pour équation :

[formule]

ou encore : z - a = t(b - a) avec t R

Exemple : Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 1 + i| = 2.

C'est le cercle de centre le point d'affixe 1 - i et de rayon 2.

Exemple : Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Im(z) = 1.

Si z = x + iy avec x, y R, alors Im(z) = y = 1.

C'est la droite horizontale d'équation y = 1 (parallèle à l'axe réel).

4. Lieux géométriques

Étude de lieux géométriques : Pour déterminer un lieu géométrique défini par une condition sur z :

  1. Poser z = x + iy avec x, y R
  2. Traduire la condition en équation réelle
  3. Identifier la courbe (droite, cercle, ellipse, etc.)

Exemple : Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 1| = |z - i|.

Posons z = x + iy avec x, y R.

|z - 1| = |z - i| |(x - 1) + iy| = |x + i(y - 1)|

(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2

(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2

x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1

-2x = -2y x = y

C'est la droite d'équation y = x (première bissectrice).

Exemple : Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 2| + |z + 2| = 6.

C'est une ellipse de foyers les points d'affixes 2 et -2, et de grand axe 6.

En effet, pour une ellipse de foyers F_1 et F_2, l'ensemble des points M tels que MF_1 + MF_2 = constante est une ellipse.

5. Applications aux calculs trigonométriques

Calcul de sommes trigonométriques : Pour calculer des sommes de cosinus ou sinus, on peut utiliser les nombres complexes :

  1. Écrire la somme comme partie réelle ou imaginaire d'une somme géométrique complexe
  2. Calculer la somme géométrique
  3. Extraire la partie réelle ou imaginaire

Exemple : Calculer S = + (2) + + (n).

On considère T = e^{i} + e^{i2} + + e^{in}.

C'est une somme géométrique de raison e^{i} :

T = e^{i(1 - e^{in})}{1 - e^{i}} = e^{i - e^{i(n+1)}}{1 - e^{i}}

En utilisant les formules d'Euler et en prenant la partie réelle, on obtient :

S = Re(T) = ({n{2})}{({2})} ((n+1){2})

6. Transformations composées

Composition de transformations : La composition de transformations correspond à la composition des applications complexes associées.

  • Translation T_b puis rotation R_{, } : z' = e^{i}(z + b - ) +
  • Rotation R_{, } puis homothétie H_{k, } : z' = k(e^{i}(z - ) + - ) +

Exemple : Déterminer la transformation qui à z associe z' = iz + 1 - i.

On peut écrire : z' = i(z - 1) + 1.

C'est la composition d'une rotation de centre le point d'affixe 1 et d'angle {2} (car i = e^{i{2}}), suivie d'une translation.

En fait, c'est directement une rotation de centre le point d'affixe 1 et d'angle {2}.

7. Applications avancées

Théorème de Napoléon : Si on construit trois triangles équilatéraux extérieurs sur les trois côtés d'un triangle quelconque, alors les centres de ces trois triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral.

On peut démontrer ce résultat en utilisant les rotations et les nombres complexes.

Inversion : L'inversion de pôle O et de puissance k transforme le point M d'affixe z 0 en le point M' d'affixe :

[formule]

Cette transformation échange les droites passant par O et les cercles passant par O.

À retenir

Résumé :

  1. Translation : z' = z + b (vecteur d'affixe b)

  2. Rotation : z' - = e^{i}(z - ) (centre , angle )

  3. Homothétie : z' - = k(z - ) (centre , rapport k)

  4. Alignement : c - a{b - a} R

  5. Perpendicularité : b - a{d - c} iR

  6. Cercle : |z - | = R (centre , rayon R)

  7. Lieux géométriques : traduire en coordonnées réelles z = x + iy