Forme trigonométrique et exponentielle

Nombres complexes — Terminale Maths Expertes

Forme trigonométrique et exponentielle

1. Argument d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe : Pour z C^* (non nul), un argument de z est une mesure de l'angle orienté (u, OM) où M est l'image de z dans le plan complexe.

On note (z) ou un argument de z.

L'argument est défini à 2 près : si est un argument de z, alors + 2k (k Z) est aussi un argument de z.

Forme trigonométrique : Tout nombre complexe non nul z peut s'écrire sous la forme :

[formule]

où est un argument de z. C'est la forme trigonométrique de z.

Exemples :

  • z = 1 + i : |z| = 2, (z) = {4} (modulo 2)

    Forme trigonométrique : z = 2({4} + i{4})

  • z = -2 : |z| = 2, (z) = (modulo 2)

    Forme trigonométrique : z = 2( + i)

  • z = 3i : |z| = 3, (z) = {2} (modulo 2)

    Forme trigonométrique : z = 3({2} + i{2})

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : Pour z = a + ib 0 :

  1. Calculer le module : |z| = a^2 + b^2 =
  2. Déterminer un argument tel que :
    • = a{}
    • = b{}
  3. Écrire : z = ( + i)

Exemple détaillé : Mettre z = -3 + i sous forme trigonométrique.

  • Module : |z| = (-{3)^2 + 1^2} = 3 + 1 = 2

  • Argument : = -{3}{2} et = 1{2}

    On reconnaît = 5{6} (car 5{6} = -{3}{2} et 5{6} = 1{2})

  • Forme trigonométrique : z = 2(5{6} + i5{6})

2. Forme exponentielle

Notation exponentielle : Pour tout réel , on définit :

[formule]

C'est la formule d'Euler.

Forme exponentielle : Tout nombre complexe non nul z peut s'écrire :

[formule]

où = |z| et est un argument de z. C'est la forme exponentielle de z.

Propriétés de l'exponentielle complexe : Pour tous , _1, _2 R :

  1. e^{i(_1 + _2)} = e^{i_1} e^{i_2}
  2. e^{i(-)} = 1{e^{i}} = e^{i}
  3. e^{i(_1 - _2)} = e^{i_1}{e^{i_2}}
  4. (e^{i})^n = e^{in} pour tout n Z (formule de Moivre)
  5. |e^{i}| = 1 et (e^{i}) = (modulo 2)

Exemples :

  • e^{i} = + i = -1 (identité d'Euler : e^{i} + 1 = 0)
  • e^{i{2}} = i
  • e^{i3{2}} = -i
  • e^{i0} = 1

3. Opérations en forme exponentielle

Multiplication et division : Pour z_1 = _1e^{i_1} et z_2 = _2e^{i_2} :

[formule] [formule]

Puissance : Pour z = e^{i} et n Z :

[formule]

En particulier, si |z| = 1, alors z^n = e^{in} = ( + i)^n = (n) + i(n) (formule de Moivre).

Exemple : Calculer (1 + i)^8.

  • 1 + i = 2e^{i{4}}
  • (1 + i)^8 = (2)^8 e^{i8 {4}} = 16e^{i2} = 16

Argument d'un produit et d'un quotient : Pour z_1, z_2 C^* :

[formule] [formule] [formule]

4. Racines n-ièmes

Racine n-ième : Soit z C et n N^*. Un nombre complexe w est une racine n-ième de z si w^n = z.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe : Soit z = e^{i} avec > 0 et R.

Les n racines n-ièmes de z sont :

[formule]

où [n]{} est la racine n-ième réelle positive de .

Racines cubiques de l'unité : Les racines cubiques de 1 sont les solutions de z^3 = 1.

Avec 1 = 1 e^{i0} :

[formule]

  • z_0 = e^{i0} = 1
  • z_1 = e^{i2{3}} = -1{2} + i{3}{2}
  • z_2 = e^{i4{3}} = -1{2} - i{3}{2}

Ces trois points forment un triangle équilatéral sur le cercle unité.

Racines n-ièmes de l'unité : Les n racines n-ièmes de 1 sont :

[formule]

Elles sont situées sur le cercle unité et forment un polygone régulier à n côtés.

En particulier, si = e^{i2{n}}, alors toutes les racines sont 1, , ^2, , ^{n-1}.

Racines quatrièmes de l'unité : Les racines quatrièmes de 1 sont :

  • 1 = e^{i0}
  • i = e^{i{2}}
  • -1 = e^{i}
  • -i = e^{i3{2}}

Ce sont les quatre sommets d'un carré sur le cercle unité.

5. Formule de Moivre et formules d'Euler

Formule de Moivre : Pour tout R et n Z :

[formule]

Formules d'Euler : Pour tout R :

[formule] [formule]

Linéarisation et factorisation : Les formules d'Euler permettent de :

  • Linéariser : transformer ^n ou ^n en combinaisons linéaires de (k) ou (k)
  • Factoriser : transformer des sommes de cosinus ou sinus en produits

Linéarisation : Linéariser ^3.

^3 = (e^{i + e^{-i}}{2})^3 = 1{8}(e^{i3} + 3e^{i} + 3e^{-i} + e^{-i3})

= 1{8}(2(3) + 6) = 1{4}(3) + 3{4}

6. Argument principal

Argument principal : Pour z C^*, l'argument principal de z, noté Arg(z), est l'unique argument de z appartenant à ]-, ].

On a donc : Arg(z) ]-, ] et (z) = Arg(z) + 2k pour un certain k Z.

Calcul de l'argument principal : Pour z = a + ib avec a, b R et (a, b) (0, 0) :

  • Si a > 0 : Arg(z) = (b{a})
  • Si a < 0 et b 0 : Arg(z) = + (b{a})
  • Si a < 0 et b < 0 : Arg(z) = - + (b{a})
  • Si a = 0 et b > 0 : Arg(z) = {2}
  • Si a = 0 et b < 0 : Arg(z) = -{2}

Exemples :

  • Arg(1 + i) = {4}
  • Arg(-1 + i) = 3{4}
  • Arg(-1 - i) = -3{4}
  • Arg(1 - i) = -{4}

7. Applications

Calcul de sommes géométriques : Calculer S = 1 + e^{i} + e^{i2} + + e^{in} pour 0 2.

C'est une somme géométrique de raison e^{i} :

[formule]

[formule]

En prenant la partie réelle, on obtient une formule pour 1 + + (2) + + (n).

À retenir

Résumé :

  1. Forme trigonométrique : z = ( + i) avec = |z| et = (z)

  2. Forme exponentielle : z = e^{i} avec e^{i} = + i

  3. Opérations : z_1z_2 = _1_2e^{i(_1 + _2)}, z^n = ^n e^{in}

  4. Racines n-ièmes : w_k = [n]{} , e^{i + 2k{n}} pour k = 0, , n-1

  5. Formule de Moivre : ( + i)^n = (n) + i(n)

  6. Formules d'Euler : = e^{i + e^{-i}}{2}, = e^{i - e^{-i}}{2i}