Forme algébrique, module et conjugué

Nombres complexes — Terminale Maths Expertes

Forme algébrique, module et conjugué

1. Définition des nombres complexes

Nombre complexe : Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib où :

  • a et b sont des nombres réels
  • i est le nombre imaginaire tel que i^2 = -1

On note C l'ensemble des nombres complexes.

Partie réelle et partie imaginaire : Pour z = a + ib :

  • a est la partie réelle de z, notée Re(z) ou (z)
  • b est la partie imaginaire de z, notée Im(z) ou (z)

Si b = 0, alors z est un nombre réel. Si a = 0, alors z est un imaginaire pur.

Exemples :

  • z_1 = 3 + 2i : partie réelle 3, partie imaginaire 2
  • z_2 = -5i : imaginaire pur (partie réelle 0)
  • z_3 = 7 : nombre réel (partie imaginaire 0)
  • z_4 = 2 + i : partie réelle 2, partie imaginaire

Égalité de deux nombres complexes : Deux nombres complexes z_1 = a_1 + ib_1 et z_2 = a_2 + ib_2 sont égaux si et seulement si : [formule]

2. Opérations sur les nombres complexes

2.1 Addition et soustraction

Addition et soustraction : Pour z_1 = a_1 + ib_1 et z_2 = a_2 + ib_2 :

[formule] [formule]

Exemple : (3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + i(2 - 5) = 4 - 3i

2.2 Multiplication

Multiplication : Pour z_1 = a_1 + ib_1 et z_2 = a_2 + ib_2 :

[formule]

On développe en utilisant i^2 = -1.

Exemple : (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 1 + 2 (-2i) + 3i 1 + 3i (-2i)

= 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i

Puissances de i : Les puissances de i sont périodiques :

[formule]

Pour tout n N : i^{4n} = 1, i^{4n+1} = i, i^{4n+2} = -1, i^{4n+3} = -i

2.3 Inverse et division

Conjugué d'un nombre complexe : Le conjugué de z = a + ib est le nombre complexe z = a - ib.

On a : {z} = z et z_1 + z_2 = z_1 + z_2, z_1z_2 = z_1 z_2

Produit zz : Pour tout z = a + ib :

[formule]

C'est un nombre réel positif ou nul.

Inverse d'un nombre complexe : Pour z = a + ib 0, l'inverse de z est :

[formule]

Division : Pour z_1, z_2 C avec z_2 0 :

[formule]

Exemple : 1 + 2i{3 - i} = (1 + 2i)(3 + i){(3 - i)(3 + i)} = 3 + i + 6i + 2i^2{9 + 1} = 3 + 7i - 2{10} = 1 + 7i{10} = 1{10} + 7{10}i

3. Module d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe : Le module de z = a + ib est le nombre réel positif :

[formule]

On note aussi |z| = ou r.

Propriétés du module : Pour tous z, z_1, z_2 C :

  1. |z| 0 et |z| = 0 z = 0
  2. |z| = |z|
  3. |z_1z_2| = |z_1| |z_2|
  4. |z_1{z_2}| = |z_1|{|z_2|} (si z_2 0)
  5. |z_1 + z_2| |z_1| + |z_2| (inégalité triangulaire)
  6. |z_1 - z_2| ||z_1| - |z_2||

Exemples :

  • |3 + 4i| = 9 + 16 = 25 = 5
  • |-2i| = 0^2 + (-2)^2 = 2
  • |5| = 5 (module d'un réel = valeur absolue)

Module et conjugué : Pour tout z C :

[formule]

4. Représentation géométrique

Plan complexe : À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a, b) dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, u, v).

  • L'axe des abscisses est l'axe réel
  • L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire
  • Le point M est l'image de z, et z est l'affixe de M

Interprétation géométrique :

  • Le module |z| est la distance OM du point M à l'origine
  • Le conjugué z est l'image du symétrique de M par rapport à l'axe réel
  • L'addition correspond à l'addition vectorielle : si M_1 a pour affixe z_1 et M_2 pour affixe z_2, alors M_1 + M_2 a pour affixe z_1 + z_2

Exemple : Le nombre z = 3 + 4i a pour image le point M(3, 4). Son module |z| = 5 est la distance OM. Son conjugué z = 3 - 4i a pour image le point M'(3, -4), symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.

5. Équations dans C

Résolution d'équations dans C : Pour résoudre une équation dans C, on utilise souvent :

  1. L'égalité des parties réelle et imaginaire
  2. Les propriétés du conjugué et du module
  3. La factorisation

Équation avec égalité de parties : Résoudre dans C : (1 + i)z = 2 - 3i

On a z = 2 - 3i{1 + i} = (2 - 3i)(1 - i){(1 + i)(1 - i)} = 2 - 2i - 3i + 3i^2{1 + 1} = 2 - 5i - 3{2} = -1 - 5i{2} = -1{2} - 5{2}i

Équation avec égalité de parties réelle et imaginaire : Résoudre dans C : z + 2z = 5 + 3i

Posons z = a + ib avec a, b R. Alors z = a - ib.

z + 2z = (a + ib) + 2(a - ib) = 3a - ib = 5 + 3i

Par identification : 3a = 5 et -b = 3, donc a = 5{3} et b = -3.

Ainsi z = 5{3} - 3i.

6. Applications

Identité remarquable : Pour tous z_1, z_2 C :

[formule]

C'est l'identité du parallélogramme.

Application : Montrer que si |z| = 1, alors |z - 1{z + 1}| = |{Im(z)}{1 + Re(z)}|

On a |z| = 1 donc zz = 1, soit z = 1{z}.

|z - 1{z + 1}|^2 = |z - 1|^2{|z + 1|^2} = (z - 1)({z - 1)}{(z + 1)(z + 1)} = (z - 1)({1{z} - 1)}{(z + 1)(1{z} + 1)}

En développant et simplifiant, on obtient le résultat.

À retenir

Résumé :

  1. Forme algébrique : z = a + ib avec a, b R et i^2 = -1

  2. Conjugué : a + ib = a - ib et zz = |z|^2

  3. Module : |a + ib| = a^2 + b^2 avec propriétés multiplicatives

  4. Opérations : addition, multiplication, division (via conjugué)

  5. Représentation : point M(a, b) dans le plan complexe, module = distance OM

  6. Résolution d'équations : identification des parties réelle et imaginaire