Temps d'attente : lois exponentielle et géométrique

Introduction

La loi [[fonction-exponentielle|exponentielle]] est la loi continue fondamentale pour modéliser des durées de vie, des temps d'attente et des phénomènes de fiabilité. Elle est caractérisée par une propriété remarquable : l'absence de mémoire.

1. Densité de la loi exponentielle

Loi exponentielle E() : La [[variable-aleatoire|variable aléatoire]] X suit la loi exponentielle de paramètre > 0, notée X E(), si sa densité est :

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Le paramètre s'appelle le taux ou intensité.

Vérification que f est une densité :

1. f(t) 0 pour tout t ✓

2. _0^{+} , e^{- t} , dt = [-e^{- t}]_0^{+} = 0 - (-1) = 1 ✓

Allure de la courbe : La densité de E() :

• Part de f(0) = (valeur en 0)
• Est strictement décroissante sur [0 ; +[
• Tend vers 0 quand t +
• Plus est grand, plus la courbe décroît rapidement (les petites valeurs sont plus probables)

2. Espérance et variance

Espérance et variance de E() : Si X E() :

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Remarque : pour la loi exponentielle, l'espérance est égale à l'écart type.

Démonstration de E(X) = 1/ : Par intégration par parties avec u(t) = t et v'(t) = e^{- t} :

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Exemple : Le temps d'attente X (en heures) entre deux appels dans un centre téléphonique suit E(3).

E(X) = 1{3} 0{,}333 heure, soit 20 minutes d'attente en moyenne.

(X) = 1{3} 0{,}333 heure.

3. Calcul de probabilités

Fonction de répartition : Si X E(), pour tout t 0 :

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Démonstration : [formule]

Calcul de P(a X b) : Pour 0 a b :

[formule]

Cas particuliers :

• P(X t) = 1 - e^{- t}

• P(X > t) = e^{- t}

• P(X t) = P(X > t) = e^{- t} (variable continue)

Exemple : La durée de vie X (en mois) d'un composant suit E(0{,}05).

a) Durée de vie moyenne : E(X) = 1{0{,}05} = 20 mois.

b) P(X > 12) = e^{-0{,}05 12} = e^{-0{,}6} 0{,}549.

Le composant a 54,9% de chance de durer plus d'un an.

c) P(6 X 24) = e^{-0{,}05 6} - e^{-0{,}05 24} = e^{-0{,}3} - e^{-1{,}2} 0{,}741 - 0{,}301 = 0{,}440.

Détermination du paramètre : Si l'on connaît une probabilité, on peut retrouver :

P(X > t_0) = p_0 e^{- t_0} = p_0 - t_0 = (p_0) = -(p_0){t_0}

On peut aussi utiliser l'espérance : si E(X) = m, alors = 1{m}.

4. Propriété d'absence de mémoire

Propriété sans mémoire (ou de durée de vie sans vieillissement) : Si X E(), alors pour tous s, t 0 :

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La loi exponentielle est la seule loi continue à valeurs positives vérifiant cette propriété.

Démonstration : [formule]

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Interprétation importante : La propriété sans mémoire signifie que le système ne vieillit pas :

• Un composant qui a déjà fonctionné s heures a la même probabilité de durer encore t heures qu'un composant neuf

• Le « passé » n'influence pas le « futur »

• C'est un modèle réaliste pour les composants électroniques (pannes aléatoires), mais pas pour les composants mécaniques (qui s'usent)

Exemple : Le temps X (en heures) avant une panne de serveur suit E(0{,}01).

Le serveur fonctionne déjà depuis 200 h. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 100 h ?

Par la propriété sans mémoire : [formule]

C'est la même probabilité que pour un serveur neuf de durer 100 h.

5. Applications

Modèles d'application : La loi exponentielle modélise :

1. Durée de vie : composants électroniques, ampoules, batteries

2. Temps d'attente : entre deux clients, deux appels, deux événements

3. Fiabilité : probabilité de fonctionnement sans panne

4. Radioactivité : temps de désintégration d'un atome

5. Files d'attente : temps de service

Résolution d'un problème de fiabilité : Données : durée de vie moyenne ou taux de panne.

1. Identifier : si la durée de vie moyenne est m, alors = 1{m}

2. Modéliser : X E()

3. Calculer les probabilités demandées avec P(X > t) = e^{- t}

4. Si besoin, utiliser la propriété sans mémoire

Exemple : garantie d'un appareil : Un fabricant sait que la durée de vie X (en années) de ses appareils suit E(0{,}2), soit une durée de vie moyenne de 5 ans.

Il offre une garantie de 2 ans. Quelle proportion d'appareils tombera en panne pendant la garantie ?

P(X 2) = 1 - e^{-0{,}2 2} = 1 - e^{-0{,}4} 1 - 0{,}670 = 0{,}330

Environ 33% des appareils tomberont en panne sous garantie.

6. Le temps d'attente discret : la loi géométrique

La loi exponentielle mesure une attente continue (des heures, des années). Quand on attend un nombre d'essais — combien de lancers avant le premier 6 ? — le temps est discret, et la loi change de nom.

Loi géométrique : On répète une même épreuve, indépendamment, avec à chaque fois une probabilité p de succès. Soit X le rang du premier succès. Alors pour tout entier k 1 :

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La lecture est directe : k-1 échecs, puis un succès. Les facteurs se multiplient parce que les épreuves sont indépendantes.

Les deux formules à connaître : [formule]

P(X > n) se lit sans calcul : « les n premiers essais ont tous échoué ».

Exemple : On lance un dé jusqu'à obtenir un 6, donc p = 1{6}.

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L'espérance n'est pas une garantie : L'espérance vaut 6, et pourtant une fois sur trois il faut plus de 6 lancers. Une moyenne ne dit rien sur un tirage particulier : elle dit ce que donnerait un très grand nombre de parties.

Absence de mémoire, version discrète : [formule]

Vérification chiffrée avec p = 16, n = k = 6 :

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Six lancers infructueux ne « rapprochent » donc pas du 6 : le dé n'a aucune mémoire de ce qui précède.

Les deux lois côte à côte :

Ce sont deux versions du même phénomène — l'attente sans usure — l'une comptée en essais, l'autre en temps.

À retenir

Résumé :

1. Densité : f(t) = e^{- t} pour t 0, nulle pour t < 0

2. Espérance et écart type : E(X) = (X) = 1{}, V(X) = 1{^2}

3. Fonction de répartition : P(X t) = 1 - e^{- t}, P(X > t) = e^{- t}

4. Absence de mémoire : P(X > s + t X > s) = P(X > t) — le système ne vieillit pas

5. Applications : durée de vie, temps d'attente, fiabilité

6. Loi géométrique (attente discrète) : P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, P(X > n) = (1-p)^n, E(X) = 1p — elle aussi sans mémoire