Estimation et prise de décision
Introduction
L'estimation et la prise de décision sont au cœur de la statistique inférentielle. On utilise les données d'un échantillon pour prendre des décisions concernant une population, en tenant compte de l'incertitude liée à l'échantillonnage.
1. Estimation ponctuelle
1.1 Principe
Définition : Une estimation ponctuelle d'un paramètre est une valeur unique calculée à partir de l'échantillon qui sert d'approximation de .
1.2 Estimateurs usuels
Théorème : Pour estimer les paramètres d'une population à partir d'un échantillon :
- Moyenne : on utilise la moyenne de l'échantillon x = 1{n} _{i=1}^n x_i
- Proportion : on utilise la fréquence observée f = X{n} où X est le nombre de succès
- [[ecart-type|Écart-type]] : on utilise l'écart-type de l'échantillon s = {1{n-1} _{i=1}^n (x_i - x)^2}
Exemple : Dans un échantillon de n = 100 personnes, on observe 60 personnes favorables à une mesure.
L'estimation ponctuelle de la proportion p dans la population est :
[formule]
1.3 Propriétés des estimateurs
Un bon estimateur doit être :
- Sans biais : son [[esperance|espérance]] est égale au paramètre à estimer
- Convergent : il se rapproche du paramètre quand la taille de l'échantillon augmente
- Efficace : il a une variance faible
2. Estimation par intervalle (rappel)
Comme vu dans la leçon précédente, l'estimation par intervalle de confiance est préférable car elle donne une marge d'erreur.
3. Probabilités totales
Quand un événement peut survenir par plusieurs chemins, on les additionne — après avoir multiplié le long de chacun.
Formule des probabilités totales : Si A et A partagent l'univers :
[formule]
Les deux règles de l'arbre : Le long d'un chemin, on multiplie.
Entre plusieurs chemins menant au même événement, on additionne.
Exemple : Une usine produit sur deux machines. A fabrique 60,% des pièces avec 2,% de défauts, B les 40,% restants avec 5,% de défauts.
[formule]
Soit 3{,}2,% de pièces défectueuses dans la production totale.
Le taux global n'est pas la moyenne des taux : 2 + 5{2} = 3{,}5,%, et la réponse est 3{,}2,%.
La moyenne simple ignore que les deux machines ne produisent pas autant : il faut pondérer. C'est exactement ce que fait la formule.
Le contrôle par les nœuds : À chaque nœud de l'arbre, les branches somment à 1 : 0{,}6 + 0{,}4, 0{,}02 + 0{,}98, 0{,}05 + 0{,}95.
Un nœud qui ne somme pas à 1 signale une mauvaise lecture de l'énoncé.
4. Formule de Bayes
La section précédente descendait l'arbre. La formule de Bayes le remonte : connaissant l'effet, quelle est la probabilité de la cause ?
Formule de Bayes : [formule]
Le numérateur est la probabilité du chemin qui passe par A ; le dénominateur, celle de tous les chemins réunis.
Exemple : On prélève une pièce défectueuse. Vient-elle de la machine A ?
[formule]
Le résultat contredit l'intuition, et c'est le point : La machine A produit 60,% des pièces, mais seulement 37{,}5,% des défauts. La machine B, minoritaire, en produit 62{,}5,% — parce que son taux de défaut est deux fois et demie plus élevé.
Un contrôle qualité qui ne regarderait que les VOLUMES viserait la mauvaise machine.
P_A(D) et P_D(A) n'ont rien à voir : P_A(D) = 0{,}02 : parmi les pièces de A, 2,% sont défectueuses.
P_D(A) = 0{,}375 : parmi les pièces défectueuses, 37{,}5,% viennent de A.
Les confondre est l'erreur la plus répandue du calcul des probabilités — et elle a des conséquences réelles, notamment en médecine, où l'on confond « le test est positif chez les malades » avec « le patient est malade sachant que le test est positif ».
Le contrôle qui ferme le calcul : Les probabilités inverses doivent sommer à 1 : 38 + 58 = 1 ✓
La pièce vient forcément de l'une des deux machines.
5. Ce qui compte n'est pas le volume, c'est le produit
La lecture qui évite l'erreur : Pour comparer deux causes, on ne compare ni leurs volumes ni leurs taux, mais leur produit « part × taux » :
[formule]
C'est ce produit qui apparaît au numérateur de la formule de Bayes.
Un cas où l'écart devient spectaculaire : Si A produisait 95,% des pièces avec 0{,}1,% de défauts, et B les 5,% restants avec 10,% :
[formule]
Une machine qui ne produit qu'un vingtième des pièces causerait alors cinq défauts sur six.
6. Décider à partir d'un échantillon
L'intervalle de confiance part de l'échantillon pour encadrer la proportion inconnue. On peut faire le chemin inverse : partir d'une proportion annoncée et regarder si l'échantillon observé est plausible.
Intervalle de fluctuation : Si la proportion réelle vaut p, alors dans 95,% des échantillons de taille n la fréquence observée tombe dans
[formule]
(valable dès que n 30, np 5 et n(1-p) 5.)
Deux intervalles, deux centres — ne pas les confondre :
| centré sur | on connaît | on cherche | |
|---|---|---|---|
| Confiance | f observée | l'échantillon | p |
| Fluctuation | p annoncée | p | ce que peut donner un échantillon |
Même demi-largeur 1{n}, mais pas le même centre. Les échanger fait répondre à l'autre question.
Exemple : Un fabricant annonce 50,% de pièces d'un certain type. Sur n = 400 pièces, on en observe 168, soit f = 0{,}42.
[formule]
0{,}42 I : un tel écart ne se produirait que dans moins de 5,% des échantillons si l'annonce était exacte. L'annonce est donc remise en cause.
Comment conclure, en français : Deux cas, et deux phrases qui ne se ressemblent pas :
- f hors de l'intervalle → « l'observation est peu compatible avec l'annonce, on la remet en cause » ;
- f dans l'intervalle → « rien ne permet de remettre en cause l'annonce ».
Le second cas ne dit pas que l'annonce est vraie : il dit qu'on n'a pas de quoi la contredire. Ne pas écrire « donc p = 0{,}5 ».
Pourquoi la taille de l'échantillon change tout : Avec le même f = 0{,}42 mais n = 1000 :
[formule]
L'intervalle rétrécit, donc le même écart devient encore plus difficile à attribuer au hasard. Plus l'échantillon est grand, plus un petit écart devient significatif — c'est pourquoi un sondage sur 1 000 personnes tranche là où un sondage sur 100 ne tranche pas.
7. Deux usages concrets
7.1 Contrôle qualité
Une chaîne doit produire au plus 3,% de pièces défectueuses. Sur n = 500 pièces prélevées, on en trouve 24, soit f = 0{,}048.
[formule]
(la borne basse 0{,}03 - 0{,}045 étant négative, on la ramène à 0 : une fréquence n'est jamais négative.)
0{,}048 I : rien ne permet d'affirmer que la chaîne s'est déréglée. Un échantillon de 500 pièces est trop petit pour distinguer 3,% de 4{,}8,%.
Le calcul qui dit combien de pièces prélever : Pour que l'intervalle soit assez fin pour détecter un écart de 0{,}018, il faudrait 1{n} 0{,}018, soit n 1{0{,}018^2} 3,086 pièces.
C'est ce calcul, et non l'intuition, qui dimensionne un contrôle.
7.2 Sondages
Un institut interroge n = 1000 personnes et annonce un candidat à 52,%. La marge usuelle est
[formule]
L'intervalle contient 0{,}5 : le sondage ne permet pas d'affirmer que le candidat est majoritaire, malgré un score annoncé au-dessus de 50,%.
C'est exactement ce que les commentaires oublient : « En tête d'un point » sur un sondage à 1 000 personnes ne veut rien dire : la marge est de trois points. Un écart plus petit que la marge n'est pas un écart.
À retenir
Résumé :
Probabilités totales : P(D) = P(A)P_A(D) + P(A)P_{A}(D) — on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins.
Formule de Bayes : P_D(A) = P(A) P_A(D){P(D)} — elle remonte l'arbre, de l'effet vers la cause.
P_A(D) et P_D(A) sont deux nombres différents. La confusion des deux est l'erreur la plus répandue du chapitre.
Intervalle de confiance (centré sur f) : [f - 1{n} ;;; f + 1{n}] — on encadre une proportion inconnue.
Intervalle de fluctuation (centré sur p) : même demi-largeur, mais on teste si un échantillon est compatible avec une proportion annoncée.
Un f dans l'intervalle ne prouve rien : il dit seulement que rien ne permet de remettre en cause l'annonce.
Les deux contrôles qui ferment un calcul : Sur un arbre : à chaque nœud, les branches somment à 1.
Sur Bayes : les probabilités inverses somment à 1 (P_D(A) + P_D(B) = 1).
Sur un intervalle : la demi-largeur 1{n} doit diminuer quand n augmente. Si elle grandit, la racine est au mauvais étage.