Intervalles de confiance
Introduction
Un sondage interroge 1,000 personnes et annonce 52,%. Personne ne croit que la proportion réelle vaut exactement 0{,}52 — mais alors, que vaut-elle ?
L'intervalle de confiance répond à cette question : il donne une fourchette autour de la fréquence observée, avec une garantie chiffrée.
1. De la fréquence observée à la proportion inconnue
Deux nombres à ne jamais confondre :
| notation | ce que c'est | connu ? |
|---|---|---|
| p | la proportion dans toute la population | inconnue, c'est ce qu'on cherche |
| f | la fréquence dans l'échantillon | connue, on l'a comptée |
Estimation ponctuelle : La fréquence f = {nombre de succès}{n} est la meilleure valeur unique dont on dispose pour estimer p.
Mais une valeur unique est presque sûrement fausse : un autre échantillon donnerait un autre f. D'où l'idée de proposer un intervalle plutôt qu'un nombre.
2. L'intervalle de confiance
Intervalle de confiance au niveau 95 % : Soit f la fréquence observée sur un échantillon de taille n. Sous les conditions
[formule]
l'intervalle
[formule]
contient la proportion p dans au moins 95,% des cas.
Les trois gestes :
- Calculer f ;
- vérifier les trois conditions ;
- calculer 1{n} une seule fois, puis l'ajouter et la retrancher.
Exemple : Sur n = 400 personnes, 180 sont favorables :
[formule]
Conditions : 400 30 ✓, 400 0{,}45 = 180 5 ✓, 400 0{,}55 = 220 5 ✓.
[formule]
Entre 40,% et 50,% de la population est favorable.
La racine porte sur n, pas sur f : [formule]
Contrôle immédiat : si n est multiplié par 4, la marge doit être divisée par 2. Avec 1n elle serait divisée par 4, ce qui serait trop beau.
Le contrôle qui ferme le calcul : Un intervalle de confiance pour une proportion doit rester dans [0,;1].
Si tu obtiens [-0{,}02 ;;; 0{,}18], la borne basse se ramène à 0 : une proportion n'est jamais négative.
3. Amplitude et taille de l'échantillon
L'amplitude de l'intervalle vaut
[formule]
Elle ne dépend que de n — ni de f, ni de la taille de la population.
Un sondage national n'a pas besoin d'être plus grand qu'un sondage local : C'est contre-intuitif, et pourtant : interroger 1,000 personnes sur 68 millions donne la même précision que sur une ville de 30,000 habitants. Ce qui compte est la taille de l'échantillon, pas celle de la population.
Combien de personnes interroger ? : Pour une amplitude au plus A :
[formule]
Exemple : Pour une amplitude de 2 points, soit A = 0{,}02 :
[formule]
Il faut interroger 10,000 personnes — cinquante fois plus que les 200 qui suffisent pour une amplitude de 14 points.
La règle des quatre : Diviser la marge par 2 demande de multiplier n par 4 ; par 3, de le multiplier par 9.
C'est ce coût qui explique que presque tous les sondages publiés tournent autour de 1,000 personnes : au-delà, on paie beaucoup pour gagner très peu.
4. Ce que « 95 % » veut dire — et ce qu'il ne veut pas dire
La phrase à ne pas écrire : « p a 95,% de chances d'être dans [0{,}40 ;;; 0{,}50] » est faux.
p n'est pas une variable aléatoire : c'est un nombre fixe, inconnu. Il est dans l'intervalle, ou il n'y est pas. Il n'y a aucun hasard là-dedans.
La formulation correcte : Ce qui est aléatoire, c'est l'intervalle — il dépend de l'échantillon tiré.
« Si l'on répétait le sondage un grand nombre de fois, environ 95,% des intervalles obtenus contiendraient p. »
En pratique on écrit : « au niveau de confiance 95,%, p est compris entre 40,% et 50,% ».
Autrement dit : Sur 100 instituts qui feraient chacun leur sondage, environ 95 publieraient un intervalle contenant la vraie proportion, et environ 5 passeraient à côté — sans qu'aucun ne puisse savoir dans quel groupe il se trouve.
5. Lire un sondage
Exemple : Un institut interroge n = 1,000 personnes ; 520 déclarent voter pour un candidat.
[formule]
[formule]
Le candidat n'est pas donné majoritaire : 0{,}5 appartient à l'intervalle. Un score annoncé à 52,% sur 1,000 personnes ne permet donc pas d'affirmer qu'il dépasse 50,%.
C'est ce que veut dire « dans la marge d'erreur » — une phrase que les commentaires de sondage emploient sans toujours en tirer la conséquence.
Combien faudrait-il pour trancher ? : Pour que 0{,}5 sorte de l'intervalle, il faut 0{,}52 - 1{n} > 0{,}5, donc 1{n} < 0{,}02, soit n > 2,500.
Deux fois et demie plus de monde pour trancher deux points d'écart.
À retenir
Résumé :
f est observée sur l'échantillon, p est inconnue dans la population.
Intervalle de confiance à 95,% : [f - 1{n} ;;; f + 1{n}].
Conditions : n 30, nf 5, n(1-f) 5.
L'amplitude 2{n} ne dépend que de n.
Diviser la marge par 2 coûte 4 fois plus d'échantillon.
« 95,% » porte sur la méthode, pas sur un tirage particulier.
Les deux contrôles gratuits : La marge doit diminuer quand n augmente — sinon la racine est au mauvais étage.
L'intervalle doit rester dans [0,;1] — une proportion n'est ni négative ni supérieure à 1.