Loi binomiale et échantillonnage
Introduction
Beaucoup de situations se ramènent à la même expérience répétée : un contrôle qualité sur des pièces, un sondage sur des personnes, une série de lancers. À chaque fois, on compte les succès — et c'est toujours la même loi qui gouverne ce compte.
1. Reconnaître une loi binomiale
Schéma de Bernoulli : On répète n fois une même épreuve, de façon indépendante, et chaque épreuve n'a que deux issues : succès, de probabilité p, ou échec, de probabilité 1-p.
Le nombre X de succès suit alors la loi binomiale B(n,;,p).
Les trois conditions, et il les faut TOUTES : Répétition de la même épreuve · indépendance entre les épreuves · deux issues seulement.
Un tirage SANS remise dans une petite urne échoue à la deuxième : les tirages n'y sont pas indépendants. En revanche un prélèvement de 200 pièces dans une production de plusieurs milliers y satisfait en pratique.
Exemple : On lance 10 fois un dé et l'on compte les fois où l'on obtient 5 ou 6.
Même épreuve répétée 10 fois, lancers indépendants, deux issues retenues : X suit B!(10,;,13).
2. Calculer une probabilité
formula [formule]
Le coefficient n{k} compte les façons de placer les k succès parmi les n épreuves ; les deux puissances donnent la probabilité d'UNE de ces façons.
Le contrôle qui ne trompe pas : Les exposants doivent totaliser n : k succès et n-k échecs.
Écrire (1-p)^{,n} ou (1-p)^{,k} est l'erreur la plus fréquente, et elle se repère en additionnant les exposants.
Exemple : Pour X B(10,;,0{,}3) :
[formule]
Les mots qui déclenchent un raccourci : « au moins un » passer par le contraire : P(X 1) = 1 - P(X = 0), un seul calcul au lieu de n.
« au plus un » P(X = 0) + P(X = 1), deux termes.
3. Espérance et écart-type
formula [formule]
Exemple : Une usine produit 4,% de pièces défectueuses ; on en prélève 200.
[formule]
On attend donc environ 8 pièces défectueuses, avec des écarts typiques de l'ordre de 3.
L'espérance n'est ni une garantie ni la valeur la plus probable : E(X) = 8 ne dit pas qu'un lot contiendra 8 défectueuses.
Et l'espérance peut n'être même pas entière : pour B!(10,;,13), elle vaut 10{3} 3{,}33, alors que X ne prend que des valeurs entières.
À quoi sert l'écart-type : Il donne l'échelle des écarts NORMAUX. Un écart de plus de 2 est inhabituel, de plus de 3 franchement rare.
C'est ce qui permet de juger un seuil ou une anomalie sans aucun outil supplémentaire.
4. Échantillonnage : l'intervalle de fluctuation
On connaît la proportion p dans la population, et l'on veut prévoir où tombera la fréquence observée sur un échantillon.
formula [formule]
Au niveau de confiance 95,%, la fréquence observée sur un échantillon de taille n tombe dans cet intervalle.
Prendre une décision :
- L'hypothèse fixe p — c'est elle qu'on met à l'épreuve.
- On calcule I, centré sur p.
- La fréquence observée f est dans I : on ne rejette pas l'hypothèse. Elle est hors de I : on la rejette au niveau 95,%.
Exemple : Un dé est-il truqué ? On le lance 400 fois et l'on obtient 90 fois le 6.
Sous l'hypothèse « dé équilibré », p = 16 0{,}167 et 1{400} = 0{,}05, donc I [0{,}117,;,0{,}217].
Or f = 90{400} = 0{,}225, qui est hors de I : le dé est suspect.
L'intervalle de fluctuation est centré sur p, JAMAIS sur f : Le centrer sur la fréquence observée le ferait contenir f à tous les coups : le test ne pourrait plus rien rejeter.
C'est ce qui le distingue de l'intervalle de confiance, où l'on ignore p et où c'est bien f qui est au centre (leçon 2).
Ne pas rejeter n'est pas prouver : Une fréquence dans l'intervalle ne démontre pas que l'hypothèse est vraie : elle dit que les données ne permettent pas de la contredire.
Avec un échantillon plus grand, le même écart pourrait devenir décisif.
À retenir
Résumé :
Trois conditions pour une loi binomiale : répétition, indépendance, deux issues
P(X = k) = n{k}p^{,k}(1-p)^{,n-k}, et les exposants totalisent n
E(X) = np et (X) = np(1-p)
« Au moins un » se calcule par l'événement contraire
Intervalle de fluctuation [p 1{ n}] : centré sur p, il sert à DÉCIDER