Loi normale et courbe de Gauss
Introduction
La loi normale est l'une des lois de probabilité les plus importantes en statistique. Elle modélise de nombreux phénomènes naturels et constitue la base de la statistique inférentielle. Sa courbe caractéristique en forme de cloche (courbe de Gauss) est universellement reconnue.
1. Définition de la loi normale
1.1 Loi normale centrée réduite
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N(0, 1), si sa densité de probabilité est :
[formule]
Cette loi a pour espérance E(X) = 0 et pour écart-type (X) = 1.
Exemple : La fonction f est définie sur R, toujours positive, et sa courbe représentative a la forme d'une cloche symétrique autour de l'axe des ordonnées.
1.2 Loi normale générale
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres (moyenne) et ^2 (variance), notée N(, ^2), si sa densité de probabilité est :
[formule]
Cette loi a pour espérance E(X) = et pour écart-type (X) = .
Exemple : Si X N(10, 4), alors E(X) = 10 et (X) = 2. La courbe est centrée en x = 10 et a une "largeur" déterminée par = 2.
2. Propriétés de la courbe de Gauss
2.1 Forme de la courbe
La courbe représentative de la densité de la loi normale a les caractéristiques suivantes :
- Forme en cloche : elle est symétrique autour de la droite x =
- Maximum : atteint en x = , de valeur f() = 1{2}
- Asymptotes : les droites y = 0 sont des asymptotes horizontales
- Points d'inflexion : en x =
Exemple : Pour N(0, 1), la courbe est symétrique autour de x = 0, avec un maximum en (0, 1{2}) et des points d'inflexion en x = 1.
2.2 Influence des paramètres
Théorème :
- **Paramètre ** : déplace la courbe horizontalement (centre de symétrie)
- **Paramètre ** : modifie la "largeur" de la courbe
- Plus est grand, plus la courbe est étalée (aplatie)
- Plus est petit, plus la courbe est resserrée (pointue)
3. Calcul de probabilités
3.1 Probabilité d'un intervalle
Pour une variable X N(, ^2), la probabilité que X appartienne à un intervalle [a, b] est donnée par l'aire sous la courbe :
[formule]
Cette intégrale ne s'exprime pas à l'aide de fonctions usuelles, on utilise donc des tables ou une calculatrice.
3.2 Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite
Pour calculer des probabilités avec une loi normale quelconque, on utilise le théorème suivant :
Théorème : Si X N(, ^2), alors la variable centrée réduite :
[formule]
suit la loi normale centrée réduite N(0, 1).
Exemple : Si X N(10, 4), calculer P(X 12).
On centre et réduit : P(X 12) = P(X - 10{2} 12 - 10{2}) = P(Z 1) où Z N(0, 1).
On lit ensuite P(Z 1) dans la table : P(Z 1) 0,8413.
4. Intervalles de référence
4.1 Règle des 68-95-99,7
Théorème - Règle empirique : Si X N(, ^2), alors :
- P( - X + ) 0,68 (environ 68% des valeurs)
- P( - 2 X + 2) 0,95 (environ 95% des valeurs)
- P( - 3 X + 3) 0,997 (environ 99,7% des valeurs)
Exemple : Si la taille des hommes suit N(175, 36) (en cm), alors :
- Environ 68% des hommes mesurent entre 175 - 6 = 169 cm et 175 + 6 = 181 cm
- Environ 95% mesurent entre 163 cm et 187 cm
- Environ 99,7% mesurent entre 157 cm et 193 cm
4.2 Quantiles usuels
Pour la loi normale centrée réduite, on note u_ le quantile d'ordre tel que :
[formule]
Valeurs importantes :
- u_{0,95} 1,645 (quantile d'ordre 95%)
- u_{0,975} 1,96 (quantile d'ordre 97,5%)
- u_{0,99} 2,326 (quantile d'ordre 99%)
5. Approximation de la loi binomiale
5.1 Théorème de Moivre-Laplace
Théorème de Moivre-Laplace : Si X suit une loi binomiale B(n, p) avec n grand et p tel que np 5 et n(1-p) 5, alors X peut être approximée par une loi normale :
[formule]
Plus précisément, la variable centrée réduite :
[formule]
suit approximativement N(0, 1).
Exemple : Si X B(100, 0,3), alors np = 30 et np(1-p) = 21.
On peut approximer X par N(30, 21), donc = 21 4,58.
Pour calculer P(X 35), on utilise l'approximation normale avec correction de continuité.
5.2 Correction de continuité
Lorsqu'on approxime une loi discrète (binomiale) par une loi continue (normale), on applique une correction de continuité :
[formule]
6. Applications pratiques
6.1 Contrôle qualité
La loi normale est utilisée pour modéliser les variations dans les processus de production.
Exemple : Le diamètre d'une pièce suit N(50, 0,25) (en mm). Une pièce est conforme si son diamètre est entre 49,5 mm et 50,5 mm.
[formule]
[formule]
Environ 68% des pièces sont conformes.
6.2 Tests standardisés
Les scores de tests standardisés (comme le QI) suivent souvent une loi normale.
Exemple : Si le QI suit N(100, 225) (donc = 15), alors :
- Environ 68% des personnes ont un QI entre 85 et 115
- Environ 95% ont un QI entre 70 et 130
À retenir
Résumé :
La loi normale N(, ^2) a pour espérance et écart-type .
Sa courbe est en forme de cloche, symétrique autour de x = .
Pour calculer des probabilités, on centre et réduit : Z = X - {} N(0, 1).
Règle des 68-95-99,7 : environ 68% (resp. 95%, 99,7%) des valeurs sont dans [ - , + ] (resp. [ - 2, + 2], [ - 3, + 3]).
La loi binomiale peut être approximée par une loi normale si n est grand.
Conseil pratique : Pour calculer P(a X b) avec X N(, ^2) :
- Centrer et réduire : P(a-{} Z b-{})
- Utiliser la table ou la calculatrice pour Z N(0, 1)
- Appliquer : P(u Z v) = P(Z v) - P(Z u)
Piège courant : Attention à bien utiliser ^2 (variance) dans la notation N(, ^2), mais (écart-type) dans les calculs ! Vérifie toujours si on te donne la variance ou l'écart-type.