Suites majorées, minorées et bornées

Introduction

Les notions de majoration, minoration et bornitude sont essentielles pour comprendre le comportement des suites. Elles permettent notamment de déterminer la convergence grâce au théorème de convergence des suites monotones.

1. Définitions

1.1 Suite majorée

Définition : Une suite (u_n) est majorée s'il existe un réel M tel que :

[formule]

Le nombre M est appelé un majorant de la suite.

Exemple : La suite u_n = 1{n} est majorée par M = 1 (car 1{n} 1 pour tout n 1).

Elle est aussi majorée par M = 2, M = 10, etc. Le plus petit majorant est 1.

1.2 Suite minorée

Définition : Une suite (u_n) est minorée s'il existe un réel m tel que :

[formule]

Le nombre m est appelé un minorant de la suite.

Exemple : La suite u_n = n^2 est minorée par m = 0 (car n^2 0 pour tout n).

Elle est aussi minorée par m = -1, m = -10, etc. Le plus grand minorant est 0.

1.3 Suite bornée

Définition : Une suite (u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Autrement dit, il existe des réels m et M tels que :

[formule]

On peut aussi dire qu'il existe K > 0 tel que |u_n| K pour tout n.

Exemple : La suite u_n = (-1)^n{n} est bornée.

En effet, |u_n| = |(-1)^n{n}| = 1{n} 1 pour tout n 1.

Donc -1 u_n 1 pour tout n.

2. Propriétés des suites bornées

2.1 Caractérisation

Théorème : Une suite (u_n) est bornée si et seulement si il existe K > 0 tel que :

[formule]

Exemple : La suite u_n = (n) est bornée car |(n)| 1 pour tout n.

On peut prendre K = 1.

2.2 Opérations sur les suites bornées

Théorème :

• La somme de deux suites bornées est bornée
• Le produit de deux suites bornées est borné
• Le produit d'une suite bornée par un réel est borné

Exemple : Si (u_n) et (v_n) sont bornées, alors (u_n + v_n) est bornée.

En effet, s'il existe K_1 et K_2 tels que |u_n| K_1 et |v_n| K_2, alors :

[formule]

3. Borne supérieure et borne inférieure

3.1 Définitions

Définition : Soit (u_n) une suite majorée.

• La borne supérieure (ou supremum) de (u_n) est le plus petit de ses majorants. On la note (u_n).

• Si cette borne supérieure est atteinte (c'est-à-dire s'il existe n tel que u_n = (u_n)), on l'appelle le maximum de la suite.

Définition : Soit (u_n) une suite minorée.

• La borne inférieure (ou infimum) de (u_n) est le plus grand de ses minorants. On la note (u_n).

• Si cette borne inférieure est atteinte, on l'appelle le minimum de la suite.

Exemple : Pour la suite u_n = 1 - 1{n} :

• La suite est majorée par 1 et c'est le plus petit majorant, donc (u_n) = 1
• La suite est minorée par 0 (car u_n 0 pour n 1), donc (u_n) = 0

Le maximum n'est pas atteint (car u_n < 1 pour tout n), mais le minimum est atteint en n = 1 (car u_1 = 0).

4. Suites monotones et bornes

4.1 Suite croissante majorée

Théorème : Si (u_n) est croissante et majorée, alors elle converge vers sa borne supérieure :

[formule]

Exemple : La suite u_n = 1 - 1{n} est croissante et majorée par 1.

Elle converge vers _{n +} u_n = 1 = (u_n).

4.2 Suite décroissante minorée

Théorème : Si (u_n) est décroissante et minorée, alors elle converge vers sa borne inférieure :

[formule]

Exemple : La suite u_n = 1{n} est décroissante et minorée par 0.

Elle converge vers _{n +} u_n = 0 = (u_n).

5. Techniques pour montrer qu'une suite est bornée

5.1 Majoration directe

On peut parfois majorer directement le terme général.

Exemple : Montrer que u_n = n{n^2 + 1} est bornée.

Pour n 1, on a :

[formule]

Et u_n 0 pour tout n.

Donc 0 u_n 1, la suite est bornée.

5.2 Utilisation de la croissance ou décroissance

Si une suite est monotone et qu'on connaît sa limite, on peut en déduire qu'elle est bornée.

Exemple : La suite u_n = 1 - 1{n} est croissante et converge vers 1.

Donc pour tout n, on a u_n 1 (car la suite est croissante et sa limite est 1).

De plus, u_n u_1 = 0.

Donc la suite est bornée.

5.3 Comparaison avec d'autres suites

On peut comparer avec des suites dont on sait qu'elles sont bornées.

Exemple : Si |u_n| |v_n| et si (v_n) est bornée, alors (u_n) est bornée.

Par exemple, si |u_n| 1{n} et que 1{n} 1, alors |u_n| 1, donc (u_n) est bornée.

6. Applications

6.1 Démonstration de convergence

Pour montrer qu'une suite converge, on peut :

1. Montrer qu'elle est monotone
2. Montrer qu'elle est bornée
3. Conclure qu'elle converge

Exemple : Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + 1.

On peut montrer que :

• La suite est croissante
• La suite est majorée par 2 (par récurrence)

Donc elle converge vers un réel L qui vérifie L = L + 1, soit L^2 = L + 1, donc L = 1 + {5}{2}.

6.2 Encadrement de limites

Si on sait qu'une suite est bornée, on peut parfois encadrer sa limite.

Exemple : Si 0 u_n 1{n} pour tout n, alors par le théorème des gendarmes :

[formule]

À retenir

Résumé :

1. Une suite est majorée s'il existe M tel que u_n M pour tout n.

2. Une suite est minorée s'il existe m tel que u_n m pour tout n.

3. Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée (équivalent à |u_n| K).

4. Une suite croissante majorée converge vers sa borne supérieure.

5. Une suite décroissante minorée converge vers sa borne inférieure.

6. La somme et le produit de suites bornées sont bornés.

Conseil pratique : Pour montrer qu'une suite est bornée :

1. Majorer directement |u_n|
2. Utiliser la monotonie et la convergence
3. Comparer avec une suite bornée connue
4. Utiliser les opérations sur les suites bornées

Piège courant : Attention ! Une suite bornée n'est pas forcément convergente. Par exemple, u_n = (-1)^n est bornée mais ne converge pas. Il faut aussi la monotonie pour conclure à la convergence.