Convergence et divergence

Introduction

Une suite peut avoir un comportement très différent à l'infini : elle peut converger vers un nombre réel, diverger vers + ou -, ou ne pas avoir de limite. Comprendre ces différents cas est essentiel pour l'analyse des suites.

1. Définitions fondamentales

1.1 Suite convergente

Définition : Une suite (u_n) converge vers un réel L si, pour tout nombre > 0 (aussi petit soit-il), il existe un rang N tel que pour tout n N, on a :

[formule]

On note : _{n +} u_n = L ou u_n n + L.

Exemple : La suite u_n = 1{n} converge vers 0.

En effet, pour tout > 0, si on choisit N tel que 1{N} < (par exemple N = 1{} + 1), alors pour n N, on a |u_n - 0| = 1{n} 1{N} < .

1.2 Suite divergente

Définition : Une suite (u_n) diverge vers + si, pour tout nombre A (aussi grand soit-il), il existe un rang N tel que pour tout n N, on a :

[formule]

On note : _{n +} u_n = +.

De même, (u_n) diverge vers - si, pour tout A, il existe N tel que pour n N, on a u_n < A.

Exemple : La suite u_n = n^2 diverge vers +.

Pour tout A > 0, si on choisit N tel que N^2 > A (par exemple N = A + 1), alors pour n N, on a u_n = n^2 N^2 > A.

1.3 Suite sans limite

Définition : Une suite qui ne converge pas et ne diverge pas vers est dite sans limite ou divergente (au sens large).

Exemple : La suite u_n = (-1)^n n'a pas de limite.

Elle alterne entre -1 et 1, donc elle ne converge pas vers un nombre réel, et elle ne diverge pas vers .

2. Unicité de la limite

2.1 Théorème d'unicité

Théorème : Si une suite (u_n) converge, sa limite est unique.

Autrement dit, si _{n +} u_n = L et _{n +} u_n = M, alors L = M.

Exemple : Si on avait _{n +} u_n = 2 et _{n +} u_n = 5 en même temps, cela serait contradictoire car on ne pourrait pas avoir |u_n - 2| < et |u_n - 5| < pour n assez grand si est petit.

3. Opérations sur les limites convergentes

3.1 Limite d'une somme

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M (où L et M sont des réels), alors :

[formule]

Exemple : Si u_n = 1{n} + 2 et v_n = 3{n} - 1, alors :

[formule]

3.2 Limite d'un produit

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M, alors :

[formule]

3.3 Limite d'un quotient

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M 0, alors :

[formule]

4. Limites et inégalités

4.1 Passage à la limite dans les inégalités

Théorème : Si u_n v_n pour tout n assez grand et si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M, alors :

[formule]

Attention : Si u_n < v_n pour tout n, on ne peut pas conclure que L < M, seulement que L M.

Par exemple, u_n = 1{n+1} < 1{n} = v_n, mais u_n = v_n = 0.

4.2 Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes : Si pour tout n assez grand :

[formule]

et si _{n +} u_n = _{n +} w_n = L, alors :

[formule]

Exemple : Montrer que _{n +} (n){n} = 0.

On a -1 (n) 1 pour tout n, donc :

[formule]

Comme _{n +} (-1{n}) = 0 et _{n +} 1{n} = 0, par le théorème des gendarmes :

[formule]

5. Suites monotones et convergence

5.1 Suite croissante majorée

Théorème : Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.

Exemple : La suite u_n = 1 - 1{n} est croissante et majorée par 1.

Elle converge vers _{n +} u_n = 1.

5.2 Suite décroissante minorée

Théorème : Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

Exemple : La suite u_n = 1{n} est décroissante et minorée par 0.

Elle converge vers _{n +} u_n = 0.

6. Divergence vers l'infini

6.1 Suite croissante non majorée

Théorème : Toute suite croissante et non majorée diverge vers +.

6.2 Suite décroissante non minorée

Théorème : Toute suite décroissante et non minorée diverge vers -.

7. Critères de divergence

7.1 Suite qui tend vers l'infini

Théorème : Si _{n +} |u_n| = +, alors la suite (u_n) diverge.

Si u_n > 0 à partir d'un certain rang, alors _{n +} u_n = +
Si u_n < 0 à partir d'un certain rang, alors _{n +} u_n = -

7.2 Comparaison avec une suite divergente

Théorème : Si u_n v_n pour tout n assez grand et si _{n +} v_n = +, alors :

[formule]

À retenir

Résumé :

Une suite converge vers L si |u_n - L| devient arbitrairement petit à partir d'un certain rang.
Une suite diverge vers + (resp. -) si elle devient arbitrairement grande (resp. petite) à partir d'un certain rang.
Une suite peut être sans limite (comme (-1)^n).
Les opérations sur les limites convergentes fonctionnent si les limites existent et sont finies.
Le théorème des gendarmes permet de déterminer des limites difficiles.
Une [[suite-monotone|suite monotone]] et bornée converge toujours.

Conseil pratique : Pour montrer qu'une suite converge :

Vérifier si elle est monotone et bornée
Utiliser le théorème des gendarmes si possible
Calculer directement la limite si la suite est explicite
Utiliser les opérations sur les limites

Piège courant : Attention ! Une suite peut être bornée sans converger (exemple : (-1)^n). Il faut aussi la monotonie pour conclure à la convergence.